§ 16в. Полиномы Лежандра. Формула Родрига.

Если — четное положительное целое число, то ряд имеет, очевидно, конечное число членов, равное — , и может быть записан в виде

В этом случае полиномы определяются как

Если положительное нечетное целое число, то ряд (5.107) имеет конечное число членов, равное , и его можно записать в виде

В этом случае полиномы определяются следующим образом:

При целом положительном полиномы Лежандра представленные в виде (5.112) и (5.113) по возрастающим степеням можно записать в обратном порядке, если подставить в (5.113); подстановка в обоих случаях дает

где равно или в зависимости от того, которое из этих чисел целое.

Из выражения (5.114) для можно получить формулу, известную под названием формулы Родрига:

Последняя сумма есть разложение бинома так что

Формулы (5.114) и (5.115) дают решение уравнения Лежандра (5.103) в независимо от величины переменной Для гармоник вытянутого сфероида При очень больших значениях член с высшей степенью много больше остальных, поэтому