§ 18. Граничные условия и натяжения на поверхности диэлектрика.

Применим теорему Гаусса о потоке электрической индукции к малому дискообразному объекту, плоские поверхности которого имеют площадь и расположены с двух противоположных сторон границы раздела двух диэлектриков (фиг. 11).

Фиг. 11.

Этот диск настолько сплюснут, что площадь его боковой поверхности исчезающе мала по сравнению с площадью оснований. Если на поверхности границы раздела двух сред свободные заряды отсутствуют, то, обозначив нормальные компоненты электрической индукции через из § 16. найдем

Натяжение на границе, созданное нормальными компонентами индукции, должно равняться разности натяжения по обе стороны от границы; поэтому, пользуясь выражением (1.39), получаем

Рассмотрим работу, совершаемую при перемещении единичного заряда вдоль пути, показанного на фиг. 12; участки этого нути, перпендикулярные к границе, предиолагаются исчезающе малыми. Поскольку энергия сохраняется, то работа, совершаемая при перемещении единичного заряда вдоль этого пути, равна нулю, и, следовательно, и

Давление на границу равно разности давлений по обе стороны от нее; поэтому из выражения (1.38) имеем

Таким образом, можно сформулировать следующее положение: на незаряженной границе раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора электрической индукции и тангенциальная составляющая

Фиг. 12.

напряженности, электрического поля непрерывны. Эти граничные условия можно записать при помощи потенциалов

где потенциалы в средах Условие (1.49) означает, что нуль потенциала в обеих средах выбран так, чтобы в некоторой точке границы соблюдалось равенство Далее, путем интегрирования соотношения (1.46) убеждаемся в справедливости условия (1.49) для всех точек границы раздела.

Фиг. 13.

Пользуясь соотношениями (1.45) и (1.47), можно выразить нормальные натяжения, возникающие на границе раздела двух диэлектриков и направленные из в в виде

При выводе этой формулы не было принято во внимание, что некоторые диэлектрики обладают способностью сжиматься или расширяться в присутствии электрического поля. В таких средах на границу раздела будут действовать дополнительные силы гидростатического происхождения. Выражение, учитывающее эти силы, будет получено в § 10 гл. II.

На границе раздела двух изотропных диэлектриков силовые линии и линии электрической индукции преломляются одинаковым образом. В среде с обозначим угол между К, (или и нормалью к границе через а соответствующий угол в среде — через (фиг. 13). Тогда из соотношений (1.44) и (1.46) получим

Разделил первое уравнение на второе, найдем

Это и есть закон преломления векторон на границе раздела двух изотропных сред с различными диэлектрическими проницаемостями.