§ 5. Диэлектрический цилиндр.
Метод изображений. Рассмотрим теперь, как влияет диэлектрический цилиндр радиуса а на поле линейного
заряда 
расположенного в точке 
фиг. 26). Потенциал, обусловленный самим линейным зарядом, определяется по формуле (4.18), в которой нужно положить 
. К нему необходимо добавить потенциал, обусловленный поляризацией диэлектрика. Этот потенциал должен исчезать на бесконечности и быть симметричным относительно 
Фиг. 25.
Фиг. 26.
Таким образом, полный потенциал в области 
равен
Так как потенциал внутри цилиндра остается конечным при 
и симметричным относительно оси х, его можно представить в виде
Полагая 
при 
получим
Кроме того, 
при 
или 
что
Решим уравнения (4.33) и (4.34) относительно 
Итак, для потенциала вне цилиндра имеем
и внутри цилиндра —
Если теперь положить
то выражение (4.35) в точности совпадает с формулами разложения потенциала (4.17) и (4.18), создаваемого гремя линейными зарядами, 
положенными на оси 
зарядом 
в точке 
зарядом 
в точке 
и зарядом 
в точке 
Точно так же потенциал (4.36) совпадает с потенциалом линейного заряда 
расположенного в точке 
причем
Таким образом, незаряженный диэлектрический цилиндр радиуса а, помещенный на расстоянии 
от параллельного его оси линейного заряда 
по своему действию на поле вне цилиндра эквивалентен двум параллельным оси линейным зарядам, один из которых 
распределен вдоль оси цилиндра, а другой 
находится между линейным зарядом 
и осью цилиндра на расстоянии 
от последней. Этот заряд 
можно рассматривать как «изображение» заряда 
в цилиндре радиуса а. Потенциал внутри цилиндра с точностью до постоянной совпадает с потенциалом поля в отсутствие цилиндра при замене линейного заряда 
на 
Некоторые авторы в числителе выражения для 
вместо 2 ставят 
Тогда потенциал внутри цилиндра нужно вычислять как потенциал линейного заряда 
в однородном пространстве, заполненном диэлектриком с проницаемостью 
Отсюда следует, что при внесении диэлектрического цилиндра в любое электрическое иоле, созданное любым двухмерным распределением линейных зарядов, параллельных оси цилиндра, структура этого поля внутри цилиндра не меняется, а напряженность ноля уменьшается в 
раз.
