§ 10. Вихревые токи в плоских пластинках.

Пусть в плоскости расположена очень тонкая пластинка, обладающая удельным сопротивлением с (на единицу поверхности). Вычислим вектор-потенциал поля вихревых токов, которые индуцируются в такой пластинке под действием переменного магнитного ноля, описываемого вектор-потенциалом Будем обозначать плотность этих токов через Появление электрического поля внутри пластинки приводит к появлению поверхностных электрических зарядов, электростатическое поле которых в точности компенсирует первоначальное. Токи, сопровождающие это перераспределение зарядов, настолько незначительны, что ими можно вполне пренебречь и рассматривать лишь тангенциальные составляющие Таким образом, используя уравнение (11.4), можно написать

Пусть вихревые токи находятся в некоторой конечной области пластинки, последняя может быть как конечной, так и бесконечной. Введем функцию потока определенную в каждой точке пластинки, как ток, протекающий через любое поперечное сечение, проведенное от точки до края пластинки. Пользуясь соотношением (7.2), для замкнутого пути, взятого по контуру этого сечения и не включающего поверхность, и учитывая, что В симметрично относительно пластинки, будем иметь

где путь интегрирования при положительных z проходит в направлении положительных значений х или у. Дифференцируя выражение (11.83), получим

или в векторной форме

Подставим это выражение в уравнение (11.82), тогда для области внутри пластинки получим

Вне пластинки вектор-потенциал А состоит из двух частей: магнитной части, порождаемой вихревыми токами, и электрической части, являющейся градиентом скаляра и порождаемой электрическим двойным слоем, возникшим под действием Так как тангенциальная компонента вектор-потенциала возбуждающего поля известна и так как меняется непрерывно при переходе через каждую границу двойного слоя, то соотношение (11.85) является для граничным условием на внешней стороне поверхности пластинки. Это условие вместе с уравнением определяет А всюду вне пластинки. Если пластинка обладает конечными размерами, то граничным условием на ее крае (в плоскости пластинки) будет или Правая часть уравнения (11.85) конечна в любой момент времени; это означает, что если то Поэтому скачкообразное изменение А мгновенно индуцирует такие вихревые токи, которые сохраняют неизменными внутри пластинки. Таким образом, при заданном изменении А начальное значение А известно, и если дальше никаких изменений не происходит, то последующие значения А в процессе уменьшения вихревых токов можно найти, полагая в уравнении и решая полученное уравнение. Второе внезапное изменение А приведет к возникновению второй серии вихревых токов и т. д. В любой заданный момент времени поле вихревых токов будет являться суперпозицией найденных полей. Если скачки внешнего поля становятся меньше и интервалы между ними короче, то в пределе мы приходим к непрерывному изменению магнитного поля во времени.