§ 2. Теорема Стокса.

Непосредственно из теоремы Остроградского — Гаусса можно получить другую важную теорему. Применим формулу (3.2) к бесконечно малому прямому цилиндру, имеющему высоту площадь основания периметр основания и площадь боковой поверхности Обозначим через пищ единичные векторы нормали к основанию и к боковой поверхности, а через некоторую векторную функцию и заменим А на Поскольку постоянный вектор, то в выражении

но на плоских поверхностях и поэтому поверхностный интеграл от этого выражения по исчезает и формула (3.2) принимает вид

силу того, что поверхностный и объемный интегралы превращаются соответственно в линейный и поверхностный

Далее, и является единичным вектором, направленным вдоль границы, поэтому, выбрав его положительным для положительного направления мы получим и после суммирования по всем бесконечно малым цилиндрам, охватываемым поверхностью, будем иметь

При суммировании линейных интегралов обход всех внутренних контуров совершается дважды в противоположных направлениях, и, следовательно, интегралы по ним взаимно уничтожаются. Остается только интеграл по наружному контуру всей области. Сумма поверхностных интегралов равна, естественно, интегралу по всей поверхности, так что

Это иесть теорема Стокса. Она может быть сформулирована следующим образом: линейный интеграл от вектора по некоторому замкнутому контуру равен поверхностному интегралу от ротора вектора по поверхности, опирающейся на этот контур.