§ 8. Выражение для вектор-потенциала через значение магнитной индукции на оси.

Применяемые для фокусирования электронных пучков магнитвые линзы обычно конструируются из коаксиальных катушек с током или эквивалентных им магнитов, так что вектор-потенциал имеет только -компоненту. Для расчета фокусирующих характеристик таких линз удобно иметь выражение для вектор-потенциала через значение магнитной индукции и производных на оси системы. Пусть к И, где решение

уравнения Лапласа [см. (3.45)], тогда из выражения (7.17) имеем

где действительная функция, разложение в ряд Тейлора которой имеет вид (Двайт, 39)

Подстановка выражения (7.36) в (7.35) и интегрирование от 0 до дают

Магнитная индукция V X на оси, где равна

Теперь, подставляя это в выражение (7,37), можно выразить через индукцию и ее производные

Элементы тока, возбуждающего поля подобного рода, представляют собой коаксиальные круговые петли, поэтому значения в пределах которых справедливо выражение (7.39), будут такими же, как и в случае круглых петель. Для нахождения этих пределов подставим из формулы (7.55) в выражение (7.39) и сравним результаты с решением задачи 27, справедливым при любых значениях Для этого следует, воспользовавшись выражением (5.314), разложить функцию в ряд, изменить порядок суммирования и интегрирования и подставить вместо интегралов производные выражения (5.357). Совпадение результатов показывает, выражение (7.39) однозначно определяет вектор-потенциал для всех значений которые можно достигнуть, не пересекая поверхностей с током, Последвее ограничение необходимо потому, что внешние поля любых токов, циркулирующих внутри замкнутой поверхности, не изменяются, если эти токи заменить соответствующим образом подобранными токами, текущими по поверхности.