§ 13. Теорема взаимности Грина.

Докажем, что если проводники при зарядах на них имеют потенциалы а при зарядах потенциалы то справедливо следующее соотношение:

Рассмотрим систему точечных зарядов и напишем для нее матрицу, состоящую из членов, каждый из которых представляет собой произведение величины одного точечного заряда на потенциал другого точечного заряда. Воспользовавшись формулой (1.5), запишем сумму каждого столбца в нижнем ряду, а сумму каждой горизонтальной строки - в крайнем правом столбце. Тогда

Так как порядок суммирования произволен, то, складывая все члены в нижнем ряду или складывая все члены в крайнем правом столбце, мы должны получить одинаковые результаты

Следует заметить, что величина является потенциалом, создаваемым в точке расположения заряда всеми нештрихованными зарядами, за исключением самого Все заряды, расположенные на одном проводнике, должны быть умножены на один и тот же потенциал, что позволяет просуммировать эти заряды

откуда и следует формула (2.30). Рассмотрим один важный частный случай этой теоремы. Если в формуле (2.30) положить При помещении заряда на проводник В потенциал незаряженного проводника А меняется точно на такую величину, на какую изменился бы потенциал незаряженного проводника В при помещении заряда на проводник А. Как будет доказано в § 8 гл. III, эта теорема остается в силе и при наличии границ раздела двух или нескольких диэлектриков с различными проницаемостями.