§ 3. Магнитный вектор-потенциал. Однородное поле.

Как известно, дивергенция вектора, являющегося ротором другого вектора, тождественно равна нулю, и, следовательно, этот вектор удовлетворяет уравнению (7.1). Таким образом, можно ввести новый вектор А, называемый магнитостатическим вектор-потенциалом, такой, что его дивергенция равна нулю, а ротор равен В, т. е.

Обычная формула для дает

Подставляя в соотношение (7.4) для области с однородной магнитной проницаемостью, находим

или, выписывая компоненты векторов,

Таким образом, компоненты удовлетворяют уравнению Пуассона (3.6). Решение этого уравнения было найдено в § 10 гл. III (3.28):

Складывая компоненты, получим

В области вне проводника обращается в пуль, а внутри тонкого провода, поперечное сечение которого равно Поэтому, складывая компоненты векторов, получим

Физически такое представление является более удовлетворительным, чем оперирование с магнитным листом, так как величина А зависит только от конфигурации контура, силы тока и места нахождения точки наблюдения так как при этом не вводится никаких искусственных неоднородностей. Это выражение приводит к правильному значению линейного интеграла от В по любому пути. Очевидно, вектор А можно рассматривать как сумму векторов, каждый из которых обусловлен некоторым элементом тока замкнутого контура и параллелен этому элементу.

В декартовых координатах вектор-потенциал, описывающий однородное магнитное поле В, направленное вдоль оси х, имеет только две компоненты:

где а — произвольное число. Очевидно, отличной от нуля будет лишь х-компонента ротора этого выражения, равная В. В сферических координатах вектор-потенциал однородного поля, параллельного оси равен

В цилиндрических координатах для вектор-потенциала однородного поля, параллельного оси z, будем иметь

В сплюснутых сфероидальных координатах вектор-потенциал однородного поля, параллельного оси равен

а в вытянутых сфероидальных координатах

Разумеется, все эти формулы не представляют собой наиболее общую форму записи вектор-потенциала А, описывающего данное поле В, ибо это поле не изменяется, если к А добавить градиент любой скалярной величины.