§ 31г. Поле точечного заряда, расположенного над диэлектрической пластинкой.

Применим результаты двух последних параграфов к вычислению потенциала, создаваемого по одну сторону от бесконечной диэлектрической пластинки толщиной с и относительной диэлектрической проницаемостью К точечным зарядом расположенным с противоположной сторовы. Примем, что точечный заряд находится в начале координат, а ось z перпендикулярна к пластинке. Уравнения поверхностей, ограничивающих пластинку, будут причем Согласно соотношению (5.363), потенциал, обусловленный одним лишь точечным зарядом, равен

Поскольку это выражение представляет собой решение уравнения Лапласа, зависящее только от очевидно, что в результате внесения под знак интеграла произвольной функции к мы также получим решение. Обозначим через потенциал в области и запишем

Последний член представляет собой потенциал в области ниже пластинки, обусловленный ее поляризацией и, следовательно, конечный в указанвой области. Потенциал внутри пластинки можно представить в виде

Это выражение остается, разумеется, конечвым при Потенциал над пластинкой, т. е. в области должен обращаться в нуль при следовательно, имеет вид

Определим теперь в и так, чтобы граничные условия удовлетворялись для любых значевий от 0 до Для этого необходимо, чтобы тем же условиям удовлетворяли соответствующие подинтегральные выражения. Последнее утверждение можно доказать, если воспользоваться интегралом Фурье — Бесселя

(некоторые ограничения, налагаемые на функции

предполагаются выполненными). Таким образом, из равенства

после умножения обепх частей на интегрирования от 0 до и последующего умножения на получаем

Применительно к рассматриваемой задаче это означает, что условие при после исключения дает

а условие после исключения сводится к

Точно так же при условие дает

а из условия находим

Разрешая соотношения (5.382) — (5.385) относительно получаем

Положим, для простоты, с и так что тогда

Подстановка в выражение (5.381) приводит к следующей формуле для

Для представления полученной формулы в виде ряда разложим в ряд ее знаменатель (см. Двайт, 9.04):

Подставляя значения интегралов из соотношения (5.363), будем иметь

или

Этот же результат можно получить более длинным путем при помощи метода изображений. Потенциал в других областях можно найти, разрешив

соотношения относительно и в и подставив полученные выражения в формулы (5.379) и (5.380). Этот метод Применим и в случае любого числа диэлектрических пластинок.