§ 31г. Поле точечного заряда, расположенного над диэлектрической пластинкой.
Применим результаты двух последних параграфов к вычислению потенциала, создаваемого по одну сторону от бесконечной диэлектрической пластинки толщиной с и относительной диэлектрической проницаемостью К точечным зарядом 
расположенным с противоположной сторовы. Примем, что точечный заряд находится в начале координат, а ось z перпендикулярна к пластинке. Уравнения поверхностей, ограничивающих пластинку, будут 
причем 
Согласно соотношению (5.363), потенциал, обусловленный одним лишь точечным зарядом, равен
Поскольку это выражение представляет собой решение уравнения Лапласа, зависящее только от 
очевидно, что в результате внесения под знак интеграла произвольной функции к мы также получим решение. Обозначим через 
потенциал в области 
и запишем
Последний член представляет собой потенциал в области ниже пластинки, обусловленный ее поляризацией и, следовательно, конечный в указанвой области. Потенциал внутри пластинки можно представить в виде
Это выражение остается, разумеется, конечвым при 
Потенциал над пластинкой, т. е. в области 
должен обращаться в нуль при 
следовательно, имеет вид
Определим теперь 
в 
и 
так, чтобы граничные условия удовлетворялись для любых значевий 
от 0 до 
Для этого необходимо, чтобы тем же условиям удовлетворяли соответствующие подинтегральные выражения. Последнее утверждение можно доказать, если воспользоваться интегралом Фурье — Бесселя
(некоторые ограничения, налагаемые на 
функции 
предполагаются выполненными). Таким образом, из равенства
после умножения обепх частей на 
интегрирования от 0 до 
и последующего умножения на 
получаем
Применительно к рассматриваемой задаче это означает, что условие 
при 
после исключения 
дает
а условие 
после исключения 
сводится к
Точно так же при 
условие 
дает
а из условия 
находим
Разрешая соотношения (5.382) — (5.385) относительно 
получаем
Положим, для простоты, 
с и 
так что 
тогда
Подстановка в выражение (5.381) приводит к следующей формуле для 
Для представления полученной формулы в виде ряда разложим в ряд ее знаменатель (см. Двайт, 9.04):
Подставляя значения интегралов из соотношения (5.363), будем иметь
или
Этот же результат можно получить более длинным путем при помощи метода изображений. Потенциал в других областях можно найти, разрешив
относительно 
и в 
и подставив полученные выражения в формулы (5.379) и (5.380). Этот метод Применим и в случае любого числа диэлектрических пластинок.
