§ 5. Разложение вектор-потенциала но ортогональным функциям.
В электростатике после нахождения потенциала, обусловленного заданным распределением зарядов, для того, чтобы удовлетворить условиям на границах с диэлектриком или проводником, к этому потенциалу добавляют подходящий возмущенный потенциал. Пользуясь этим методом в случае вектор-потенциалов, нужно, найдя по формуле (7.9) ту часть вектор-нотенциала, которая обусловлена заданным распределением токов, добавить к ней такой вектор-потенциал возмущенного поля, чтобы их суперпозиция удовлетворяла магнитным граничным условиям.
Метод непосредственного решения уравнения Лапласа для вектор-потенциала весьма сложен, так как оператор Лапласа, применяемый к вектору, действует не только на величины составляющих вектора, но и на единичные векторы, как это видно из выражений (11.46) и (11.47). За исключением случая декартовых координат, это приводит к системе трех дифференциальных уравнений в частных производных, решение которых может оказаться очень сложным. Следует поэтому попытаться отыскать более простой способ решения.
Как мы уже видели [см. формулу (3.4)], и свободном пространстве, где нет - электрических зарядов, дивергенция электрического поля равна нулю, и поскольку это поле можно представить как градиент скаляра [см.
выражение (1.6)], его ротор также обращается тождественно в нуль. Аналогично, пользуясь выражениями (7.1) и (7.4), находпм, что в свободном пространстве, где нет электрических токов, дивергенция и ротор магнитной индукции равны нулю. Следует ожидать, что в таких областях для этих двух полей можно написать разложение по ортогональным функциям в одинаковой форме. Подобное разложение уже было получено в гл. V при решении уравнения Лапласа, являющегося уравнением второго порядка в частных производных. Это уравпение разбивалось на три дифференциальных уравнения в полных производных, каждое из которых содержало единственную координату и было связано с другими при помощи двух индексов (постоянных разделения). Таким образом, каждый член в разложении содержал два индекса и шесть постоянных интеграции. Как только что указывалось, исходя из математического подобия электрического и магнитного нолей, можно ожидать, что в разложении вектор-потенциала, определяющего вектор магнитной индукции, будет содержаться то же самое число индексов и постоянных.
Этот потенциал должен определяться тремя скалярными потенциальными функциями, потому что в декартовых координатах каждая компонен та вектор-потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа. Однако эти компоненты не являются независимыми, а связаны соотношением 
поэтому можно использовать самое большее две независимые скалярные функции. Более того, ниже будет показано, что при соответствующем их выборе магнитостатическое поле может определяться только одной из этих функций. Общее выражение для вектор-потенциала, приводящее 
равной нулю дивергенции, имеет вид
где 
является вектором, определяемым двумя скалярными потенциальными функциями. В дальнейшем для удовлетворения граничным условиям в задачах о вихревых токах и о электромагнитном излучении будет удобно разложить 
на две взаимно ортогональные компоненты, каждая из которых определяется своей скалярной потенциальной функцией, т. е.
где 
произвольный вектор, выбираемый так, чтобы 
Легко проверить путем представления в декартовых координатах, что если 
к или 
то
так что выбор 
в соответствии с условием (7.1 У) возможен. Из аналогии между В к 
вытекает, что В подобно 
можно представить через одну скалярную иотепциальную функцию. Это предположение подтверждается исследованием той части А, которая соответствует функции 
. Действительно,
Поскольку 
то часть вектор-потепциала А, определяемая функцией 
оказывается градиентом скаляра, и поэтому в магнитостатическом случае она не влияет на значение величины В.
ортогональные криволинейные координаты, а вектор и, онределенвый выше, ориентирован в направлении 
тогда, выражая 
в виде 
будем иметь 
. (Доказательство см. у Ласса, стр. 48 и 57.)
- единичные векторы в направлении координат 
функция только 
Решение должно быть записано в таком виде, чтобы вектор-потенциал можяо было вычислить в любой точке внутри объема, не содержащего источников и ограниченного семейством поверхностей, на каждой из которых одна координата сохраняется постоянной и тангенциальные компоненты вектор-потенциала заданы.
