§ 30и. Функция Грина для цилиндра. Обратное расстояние.

На основе материала, изложенного в последних параграфах, можно решить задачу о потенциале точечного заряда расположенного в точке внутри заземленного проводящего цилиндра. Под точечным зарядом мы будем подразумевать такой заряд, размеры которого хотя и слишком малы, чтобы их можно было бы измерить физически, однако отличны от нуля, благодаря чему напряженность поля и потенциал — функции всюду ограниченные. Из выражения (5.305) вытекает, что решение, обращающееся в нуль при симметричное относительно плоскости дающее при и справедливое для положительных значений z, имеет вид

где значения выбраны так, что Функции отсутствуют, поскольку они бесконечны на оси.

В силу симметрии вся плоскость состоит из силовых линий, за исключением той точки, где находится точечный заряд. Чтобы сформулировать граничные условия на этой плоскости, примем, что равно нулю всюду, кроме маленькой площадки в точке Дифференцируя выражение (5.358) и подставляя получим

Коэффициенты этого разложения определяются, как и в § 30ж и 30з настоящей главы, посредством умножения на и интегрирования от до и от до Согласно формуле (5.343) и (858.2) из справочника Двайта, все члены в правой части выражевия, за исключением исчезают. В последнем случае, как видно из формулы (858.4) справочника Двайта, интегрирование по дает

множитель при при поэтому, согласно формуле (5.355),

где при при Область в плоскости в которой выбирается настолько малой, что в ней имеет постоянное значение Используя теорему Гаусса о потоке электрической индукции (1.27) и учитывая, что рассматриваемый интеграл дает половину полного потока, находим

Подставляя в формулу (5.359), получаем.

Для потенциала, таким образом, будем иметь

Это есть функция Грина (см. § 9 гл. III) для круглого цилиндра. Если координаты заряда суть то в выражении (5.361) следует заменить на Если заряд расположен на оси, то все члены суммы по кроме первого, исчезают, а

При выражение (5.361) дает потенциал точечного заряда и свободном пространстве. При функция меняется, согласно выражению (5.337), синусоидально, так что ее нули отличаются друг от когда Выражение для потенциала (5.361) принимает вид

Если то при это выражение записывается интегральной форме:

где При получаем

Положим равными нулю и заменим в выражении на тогда после сравнения выражений (5.362) и (5.363) найдем