§ 13. Типы независимых собственных колебаний полости.

Обычно электромагнитное возмущение возбужлает в полости одновременно несколько типов собственных колебаний. Мы докажем, что мгновенное значение полной энергии равно сумме мгновенных значений энергии собственных колебаний каждого типа, составляющих заданное возмущение, т. е., что

Для этого подставим в формулу (3.24), являющуюся векторным аналогом теоремы Грина, или вместо или вместо и заменим оператор согласно соотношениям (13.10) и (13.11) на Тогда

имеют на гратшпах лишь нормальные составляющие, поэтому оба вектора, стоящие в прямых скобках, тангенциальны к поверхности следовательно, их скалярное произведение на единичный вектор нормали равно нулю. Таким образом, поверхностный интеграл обращается в нуль и в силу соотношения мы получаем

Итак, внутри произвольной полости с идеально проводящими стенками, заполненной иеноглощающим диэлектриком, собственные колебания,

имеющие разные частоты, являются совершенно независимыми. Но если потери в полости настолько велики, что резонансные кривые, соответствующие колебаниям двух типов, перекрываются, то этот вывод оказывается несправедливым, потому что первый множитель в левой части выражения (15.90) может тогда быть равен нулю в отдельные моменты времени.

Используемый здесь вектор-потенциал всегда определяется как ротор так что его дивергенция раина нулю. Как было показано в § 2 гл. XIV. при отсутствии зарядов такой вектор-потенциал описывает все ноля, удовлетворяющие уравнениям Максвелла. Если иго внутри полости находится электрод, несущий изменяющийся во времени заряд, то в соответствии с выражением к решению необходимо добавить еще скалярный нотенгиал поля, колебания которого во всей полости совпадают по фазе с колебаниями заряда. Этот скалярный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Чтобы доказать независимость энергии поля от энергии поля или нужно воспользоваться формулой (3.2):

Поверхностный интеграл равен нулю, поскольку параллелен