§ 16. Движение заряженной частицы в перекрещивающихся электрическом и магнитном полях.

В предыдущем параграфе был приведен пример, показывающий, насколько упрощается задача, если при помощи уравнений преобразования (16.86) — (16.88) ввести в рассмотрение новое поле, появляющееся в движущейся системе координат. Теперь мы применим эти уравнения для исключения одной из компонент поля путем перехода к новой системе отсчета. Рассмотрим заряженную частицу, вылетающую из начала координат с компонентами начальной скорости и находящуюся под действием однородного электрического поля, паправлевного вдоль оси у, и однородного магнитного поля, направленного вдоль оси z. Для наблюдателя, движущегося вдоль оси х с

постоянном скоростью эти поля, согласно соотношениям (16.86) и (16.87), будут равны

Если и если выбрать скорость движения такой, что

то наблюдатель в системе обнаружит только однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z и определяемое выражением (16.98). Пусть заряд вылетел в тот момент, когда начала координат систем совпадали, тогда начальными условиями будут . В системе компоненты начальной скорости заряда равны Как видно из соотношения (16.43), в системе заряд будет двигаться с угловой скоростью по траектории, имеющей вид спирали с угловым шагом закручивающейся вокруг круглого цилиндра радиуса а, где

Воспользовавшись соотношениями (16.20), (16.21) и (16.23) для можно написать

Подставляя выражения (16.98) и (16.101) в формулу (16.100), получим

Угловая скорость вращения вокруг оси цилиндра будет равна

где, если смотреть в положительном направлении оси z, угловая скорость вращения для положительного заряда направлена против часовой стрелки.

В большинстве случаев так что величина отрицательна. Тогда линия, перпендикулярная к оси z и тангенциальная к поверхности цилиндра, образует в начале координат с отрицательным направлением оси х острый угол тангенс которого на основании формул (16.10) и (16.11) равен

Мы можем написать теперь координаты заряда в системе в зависимости от времени

Введем величины определив их следующим образом:

Выразив х и у через [см. формулы (16.7)] и через и получим

Мы получили точные уравнения траектории частицы в параметрическом виде. Заметим, что при значении частица находится в точно

Таким образом, траектории всех частиц, вылетающих из начала координат и характеризуемых одним и тем же значением будут периодически в одних и тех же точках пересекать ось z. Из соотношения видно далее, что если начальные скорости значительно меньше скорости света, то расстояние между точками пересечения зависит только от напряженностей полей и от отношения заряда частицы к ее массе.

Фиг. 145.

Это обстоятельство использовано в одном из типов масс-спектрографа.

Пусть, например, напряженность электрического поля равна а магнитная индукция составляет тогда входящая в выражение (16.107) величина будет равна 1/90000. В этом случае формулы (16.107) и (16.108) превращаются в параметрическое уравнение трохоиды (циклоиды), описываемой точкой, лежащей на радиусе круга, катящегося без скольжения по прямой линии. Выберем начало координат так, чтобы этот круг катился вдоль оси х в плоскости тогда

Найденные нами траектории изображены на фиг. 145, где радиус катящегося круга, расстояние вдоль радиуса от центра круга до точки описывающей искомую кривую. Циклоидальные траектории при были использованы Дж. Дж. Томсоном в 1899 г. для определения отношения у фотоэлектронов.