Глава II. КОНДЕНСАТОРЫ, ДИЭЛЕКТРИКИ, СИСТЕМЫ ПРОВОДНИКОВ
§ 1. Теорема единственности.
Прежде чем решать задачу о нахождении потенциалов в системе проводников с заданными зарядами или обратную задачу о нахождении зарядов по заданным потенциалам, полезно убедиться в том, что обе они имеют единственное правильное решение.
Предположим сначала, что двум различным распределениям поверхностной плотности заряда на проводниках 
соответствуют одинаковые потенциалы. Тогда потенциал точки 
на поверхности одного из проводников, обусловленный разностной плотностью поверхностных зарядов 
. окажется, согласно формуле (1.8), равным
где 
расстояние от 
до элемента поверхности 
и интегрирование производится по поверхности всех проводников. Ток как стоящие в правой части интегралы по условию равны между собой, то 
т. е. все проводники имеют нулевой потенциал. Но это означает, что в такой системе вообще не существует электрического поля и 
. Следовательно, 
и распределение одинаковое. Заданное распределение является, таким образом, единственным.
Предположим теперь, что одной и той же величине полного заряда 
на проводниках могут соответствовать различные плотности распределения 
. В этом случае при разностной плотности 
полный заряд любого проводника будет равен нулю, а поэтому плотность заряда 
может или равняться нулю всюду, или же на одной части поверхности проводника быть положительной, а на другой отрицательной. Последнее, однако, невозможно, потому что при этом силовые трубки, оканчивающиеся на отрицательно заряженных участках, должны были бы исходить из точек с более высоким потенциалом, а оканчивающиеся на положительно заряженных участках — из точек с более низким потенциалом. Это рассуждение применимо к любому находящемуся в поле проводнику. Поэтому ни один из проводников с поверхностной плотностью заряда 
не может быть расположен в точке максимума или минимума потепциала. Следовательно, их потенциалы просто равны, что опять приводит к исчезновению поля и к равенству 
Итак, если на каждом проводнико задан полный заряд, то соответствующее ему распределение плотности поверхностного заряда единственно.
