§ 5б. Индуктивно связанные контуры.

Как было показано в § 4 гл. VIII [см. выражение (8.17)], если магнитное поло одного контура охватывает второй контур, изменение тока в одном из контуров наводит в другом контуре э. д. с. индукции. Таким образом, написав уравнении

Кирхгофа для цепи, изображенной на фиг. 87, мы должны включить в него член (8.17), после чего получим

Если магнитные потоки, создаваемые токами складываются, то перед принято писать знак плюс; если же потоки направлены противоположно, то пишут знак минус. Исключим из уравнения (9.30) величину

Фиг. 87.

Разрешив уравнение (9.30) относительно подставим полученный результат в уравнение (9.31), разрешив которое относительно и умножив затем на найдем

Для получения продифференцируем это выражение и подставим в уравнение (9.30), которое после умножения на примет вид

Точно так как и в § 4, мы можем сделать правую часть этого уравнения равной нулю, введя новую переменную или можем прибавить частное решение, соответствующее стационарному режиму, общему решению однородного уравнения, получающегося из уравнения (9.33), если правую часть положить равной нулю. Полное решение имеет вид, аналогичный решению (9.4),

Здесь действительные величины, равные

Когда отсюда

Очевидно, общее решение уравпеннй (9.30) и (9.31) будет одинаковым, но стационарное значение для равно нулю, так что решением для будет

В начальный момент времени отсюда

Подставляя решения (9.34) и (9.37) в уравнение (9.31) и учитывая, что после сокращения на получим

где

и

Поскольку уравнение (9.31) удовлетворяется для всех значений величины должны быть приравнены нулю по отдельности. Разрешая полученные уравнения относительно и подставляя затем выражения для в решения (9.34) и (9.37), получаем

Из выражении (9.40) видно, что ток асимптотически приближается к своему конечному значению Полагая и разрешая полученное уравнение относительно находим, что достигает максимума при

и затем асимптотически стремится к нулю.

В момент, когда разомкнем цепь (см. фиг. 87) посредством выключателя и исследуем полученный эффект. Если бы мы разомкнули цепь мгновенно, прекратив ток в нулевой промежуток времени, то производная в этот момент оказалась бы бесконечной, и, согласно формуле (8.39), на выключателе возникло бы бесконечно большое напряжение. Поскольку ни одна физическая система не выдержит такого напряжения, то это значение никогда не может быть достигнуто. В действительности, в момент разрыва цепи небольшая емкость, всегда существующая между контактами и проводами цепи, заряжается до тех пор, пока потенциал не упадет. По этой прпчипе очень трудно найти точные начальные условия для

В обычных условиях мгновенное прекращение тока до лисп о индуцировать в индуктивности второго контора бесконечную порождающую искрение, если распределенная емкость контура не будет достаточно большой. Впрочем, существует важный практический случай, где это утверждение неверно. Предположим, что вся самоиндукция второго контура равна взаимной индукции и что можно найти такое отношение токов что при протекании тока или каждый виток самоиндукции будет охватывать одинаковый поток. Тогда во втором контуре можно мгновенно установить такой ток что поток через этот контур будет одинаков с потоком существовавшим до того, как прекратился ток . В этом случае э. д. с. во втором контуре конечна, а начальное значение тока получаемое приравниванием потоков, равно

Этот случай можно приближенно осуществить на практике, если представляют собой однослойные соленоиды одинаковой длины, плотно намотанные на одном каркасе.

Закон Кирхгофа для тока выразится уравнением

Решением этого уравнения, дающим правильное начальное значение будет, как легко проверить, следующее выражение: