§ 20. Многоугольники с одним положительным углом.

Если действи тельная ось в ходе преобразования претерпевает излом только в одной точке, то без ограничения общности эту точку можно принять за начало координат; тогда, положив в выражении и считая получим

Пусть равна некоторой действительной постоянной. Тогда вершина полученного многоугольника будет совпадать с началом координат, а его стороны с лучами Третья сторона многоугольника бесконечно удалена. Модуль равен степени модуля z (см. § 9), поэтому круг радиуса на плоскости z, переходит в круг радиуса на плоскости z. В частности, задачи, рассматривающие область, ограниченную дугой окружности и двумя ее радиусами, можно при помощи преобразования (4.87) свести к задачам, рассматривающим область в виде полукруга.

При верхняя полуплоскость преобразуется во всю плоскость z. Разделение действительных и мнимых частей дает Исключив по очереди мы получим уравнения двух взаимно ортогональных семейств конфокальных парабол Таким образом, однородное поле на плоскости преобразуется на плоскости z в поле полубескопечной заряженной проводящей плоскости. Поле линейного заряда на плоскости расположенного над заземленной горизонтальной проводящей плоскостью, проходящей через начало координат, преобразуется на плоскости z в поле линейного заряда вблизи полубескопечной проводящей плоскости, край которой параллелен линейному заряду.

При положив мы получим в плоскости z иоле заряженного проводящего прямоугольного клина, образующие которого совпа: дают с положительной частью оси х и отрицательной частью оси у. Таким же путем, как и для можно найти поле линейного заряда, расположенного вблизи прямоугольного клпна.

При плоскость не претерпевает, очевидно, никаких изменений, не считая изменений в масштабе за счет множителя

При положив получаем на плоскости z поле внутри проводящего прямоугольного уголка, образованного положительными полуосями х и у. В этом случае эквипотенциальные и силовые линии образуют два взаимно ортогональпых семейства равнобочных гипербол. Поле линейного заряда, параллельного краю такого уголка, находится так же, как и в случае