§ 28г. Момент, действующий на диск в однородном ноле.

Если незаряженный проводящий диск радиуса а расположен таким образом, что нормаль к нему образует угол а с электрическим нолем (однородным до внесения диска), то внешнее поле можно рассматривать как суперпозицию двух однородных полей: поля перпендикулярного к плоскости диска, и поля параллельного плоскости диска. Для решения задачи во втором случае можно воспользоваться гармониками сплюснутого сфероида. Непрерывность координат достигается тогда при и такая система координат изображена на фиг. 54. Как и в предыдущем параграфе, при причем знак совпадает со знаком х. В бесконечности, где сохраняется невозмущенвое поле,

Поскольку входит в решение только в виде сок в решениях (5.246) должно быть равно единице. Но поэтому наименьшее

возможное значение есть Далее, при зависимость от соответствует множителю в формулах (5.182) и

Фиг. 54.

Следовательно, значение невозможно, так как в этом случае при дифференцировании в формулах (5.182) и появились бы в честве множителей. Согласно формулам (5.187),

а из формул (5.186) следует

Ввиду конечности потенциала при множителя быть не может и потенциал должен иметь вид

При потенциал поэтому Если же то последние два члена в выражении (5.262) малы по сравнению с первым; поэтому приравнивая выражения (5.262) и (5.261), находим

После этого для потенциала получаем окончательное выражение

Подставляя значения из формулы (5.238), запишем это выражение в виде

Внесение незаряженного диска не возмущает компоненту поля перпендикулярную к плоскости диска; поэтому соответствующий потенциал имеет вид а решение в общем случае можно записать виде

где С связана с соотношениями (5.237) и (5.238).

Пользуясь формулой (5.265), нетрудно вычислить момент, действующий на диск: определив плотность поверхностного заряда о, мы найдем силу, действующую на единицу поверхности, равную Чтобы упростить расчет, заметим, что действие поля а на поверхностный заряд, индуцированный полем не создает момевта, так как плечо соответствующей силы равно нулю. Следовательно, весь момент обусловлен действием поля а на поверхностный заряде, индуцированный полем Согласно выражению (5.264),

Но из выражения так что При [см. формулу (5.236)], поэтому

Для силы, действующей на элемент площади плечо равно откуда выражение для полного момента, учитывая действие поля а на заряд на обеих сторонах диска, имеет вид

Принимая во внимание, что и интегрируя по формуле (Двайт, 858.3), находим

Интегрируя еще раз (Двайт, 323.01), получаем для момента