§ 15. Плоские волны вдоль идеально проводящих цилиндрических проводников.

Плоские волны могут распространяться не только в свободном пространстве пли в бесконечно протяженной диэлектрической среде с плоскими границами, но и вдоль системы идеально проводящих цилиндрических проводников, т. е. в некотором направлении z, вдоль которого поперечные сечения проводников не меняются. Согласно § 3 гл. XI, электромагнитное поле не проникает внутрь идеального проводника, -токи текут лишь в бесконечно тонком слое по его поверхности, поэтому с идеальным проводником не связано никаких потерь энергии. Интересующую нас задачу можно решить несколькими способами. При получении результатов § 26 гл. VII считалось, что вектор-потенциал, а следовательно, согласно § 2, и вектор Герца ориентированы вдоль направления z, т. е. параллельно токам. Решение волнового уравнения для вектора Герца дает и скалярный потенциал и вектор-потенциал. Если, воспользовавшись уравнением (13.16), исключить скалярный потенциал, полученный вектор-потенциал будет лежать в плоскости, нормальной z. Тот же результат можно получить

непосредственно, решая скалярное волновое уравнение

Решение получается, если каждую из скобок по отдельности приравнять нулюх). Это решение имеет вид

где решения двухмерного уравнения Лапласа. Пусть комплексные потенциальные функции, рассмотренные в гл. IV, тогда

Если определен как , то из § 11 гл. IV мы имеем

Из соотношения (11.11) вектор-потенциал поперечного электрического поля равен

Очевидно, что первый член соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси z, а второй — в отрицательном направлении оси z. Поля определяются по формулам

Верхний знак относится к волне, распространяющейся в положительном направлении. Из уравнений (13.117), (13.119) и (13.120) имеем

Будем различать две группы проводников, предполагая, что токи втекают в проводники одной группы и возвращаются по проводникам другой группы. Тогда из уравнения (13.120) с очевидностью следует, что если при некотором значении z потенциалы проводников, относящихся к одной и той же группе, одинаковы, то они останутся одинаковыми и при любых других значениях z. Для нахождения соотношения между полным током и суммарным зарядом в любой из групп, состоящей из проводников, нужно воспользоваться формулой (13.121), уравнением (7.2), а также привлечь теорему Гаусса (1.40). В результате получим

Обозначим через самоиндукцию на единицу длины, через С — емкость на единицу длины, а через -площадь поперечного сечения не занимаемую проводниками. Тогда из соотношений (2.15), (2.47) и (8.35) имеем

Таким образом, оказываются связанными между собой соотношением

Произведение равно величине, обратной квадрату скорости распространения электромагнитной волны в окружающей проводники среде.

Если в некоторой плоскости задана зависимость векторов от времени, то, пользуясь уравнением (13.118), легко получить выражение для А, пригодное при любых z,

Пусть даются формулой (13.116), тогда выражение (13.125) приводит к следующим значениям полей в сечении у

Столь же просто, пользуясь уравнением (13.118), написать выражение для А, если в момент векторы заданы в виде функции от

Пусть определены но формуле (13.116), тогда из выражения (13.127) для А получим следующие значения полей в момент времени