§ 27б. Эллиптический диэлектрический цилиндр.

Конформные преобразования могуг применяться не только для решения задач, рассматрива ющих границы, совпадающие с эквипотенциальными или силовыми линиями поля, но и при решении многих других в которых нужно удовлетво рить условиям на границе раздела диэлектрических сред. Так как при таких преобразованиях углы сохраняются, то закон преломления силовых линий (1.51) будет удовлетворен. Предположим, например, что нужно решить задачу о нахождении сопряженных функций, описынающпх поле, в случае эллиптического цилиндра, помещенного в однородное поле, направление которого составляет угол а с, большой осью эллипса. Уравнение диэлектрической границы запишем в виде

Преобразование, описанное в § 26, позволяет получить эту эллиптическую границу на плоскости z, исходя окружности радиуса на плоскости Для простоты положим в § 24 и 26 , так что вся плоскость z будет соответствовать той области плоскости которая расположена вне единичного круга. Запишем уравнение (4.114) в форме (4.120) и приравняем соответствующие коэффициенты, в результате получим

И системах с эллиптическими границами удобнее пользоваться не прямоугольными координатами х и у, а эллиптическими (конфокальными) координатами и и показанными на фиг. 38 и 39. Соотношения между прямоугольными и эллиптическими координатами можно получить из выражения (4.103):

Тогда преобразование (4.115) запишется в виде

или

Отсюда видно, что на больших расстояниях от начала координат однородное поле преобразуется в однородное поле Интересующее нас поле может быть, очевидно, представлено в виде суммы двух полей: вертикального а и горизонтального Эти составляющие поля показавы на фиг. 42, а и б. Ось, проходящая через фокусы, совпадает в случае с эквипотенциальной линией, а в случае с силовой линией. Поэтому на плоскости картины силовых линий будут такими, какими они изображены на фиг. 42, в и г.

(кликните для просмотра скана)

Но поле, изображенное на фиг. 42, в, уже было вычислено нами в § 4. Примем за потенциальную функцию и положим на единичной окружности, тогда

где с учетом (4.121) обозначено

Для случая, изображейного на фиг. можно использовать те же гармоники. При поэтому решение должно иметь вид

Согласно § 27а, при поэтому Решая относительно и получим

Беря суперпозицию этих полей и применяя преобразование (4.123), для области вне цилиндра находим

Аналогично и для области внутри цилиндра

Заметим, что внутри цилиндра поле остается однородным. На фиг. показаны линии электрической индукции для того случая, когда внешнее поле наклонено на угол 45° по отношению к осям эллипса.