§ 27б. Функция Грина для конуса.

Рассмотрим задачу о точечном заряде q, расположенном внутри заземленного конуса в точке Под точечным зарядом мы будем понимать такой заряд, размеры которого достаточно малы, но все-таки отличны от нуля, так что напряженность поля и потенциал в математическом смысле являются функциями ограниченными. Граничные условия на конусе) автоматически удовлетворяются, если пользоваться разложением по функциям Лежандра, порядок которых подобран таким образом, что где Из формул (5.176), (5.177) и при таком выборе решение уравнения Лапласа, конечное при непрерывное при а и имеющее должную симметрию относительно имеет вид при

при

Чтобы определить коэффициенты введем новую переменную составим, как в § 8 гл. IV, разность умножим правую и левую части на и проиитегрируем от до и от до Тогда (см. Двайт, 445) все члены в правой части обращаются в нуль, кроме членов последние, согласно формуле (5.223), также обращаются в нуль, за исключением членов После умножения на получаем

Интегралы в правой части вычисляются при помощи формулы и формулы (Двайт, 440.20), кроме случая, когда Для вычисления левой части заметим, что Поле непрерывво на сфере радиуса за исключением бесконечно малого участка поверхности около точки где сосредоточен заряд. Поэтому и подиитегральвое выражение обращается везде, кроме площадки которая выбирается настолько малой, что под интегралом можно заменить на на 1. Поскольку на внутренней стороне а на внешней стороне левая часть уравнения (5.227), согласно

теореме Гаусса о потоке электрической индукпии (1.27), оказывается равной

Разрешая уравнение 5.227) относительно и изменяя на на в соответствии с обозначениями в формулах (5.225) и (5.226), получаем

где