§ 17. Переходные явления при экранировании с помощью толстой цилиндрической оболочки.

В § 3 были рассмотрены продольные синусоидально меняющиеся вихревые токи внутри толстостенной цилиндрической оболочки, а в § 15 — произвольно изменяющиеся во времени продольные вихревые токи в тонкой оболочке. В качестве сравнительно простого примера, содержащего как продольные, так и поперечные компоненты токов, рассмотрим бесконечный цилиндр, имеющий магнитную проницаемость проводимость внутренний радиус а, внешний радиус ось цилиндра составляет угол а с однородным магнитным полем В. Найдем поле внутри цилиндра по прошествии времени после исчезновения или появления внешнего ноля. Из выражения (7.28) следует, что решения для статического вектор-потенциала при должны соответственно иметь вид

Эти выражения определяют заданное поле при и остаются конечными при Значение постоянных определяется условия непрерывности при заменив на на получим

После момента времени имеют место те же решения уравнения (11.8), где за исключением того, что в пропадают -члены, так как при . В решении для величина должна иметь множитель а — не зависит от Как и в § 9, попытаемся искать это решение в виде суммы экспоненциально затухающих функций, т. е.

Для уравнение (11.8) является скалярным; из него множитель выпадает и оно после подстановки переходит в уравнение (5.302) . Для уравнение (11.8) принимает вид (11.47).

Подставляя в последнее вместо отбрасывая и обозначая через мы опять получаем уравнение типа (5.302) при Тахшм образом, для выражения (11.139) — (11.141) заменяются следующими:

где являются функциями Бесселя. Приравнивая при обозначая через через и опуская будем иметь

Приравнивая при тангенциальные составляющие пуская в у-компоненте и умножая все на получим

Так как - член равен нулю, то, согласно § 30 г гл. и в соответствии с соотношением (5.320) имеем

Аналогичным образом из граничных условий при выписывая выражение для получаем

Исключение из четырех уравнений дает

Можно использовать только значения удовлетворяющие соотношению (11.153). Подставляя из соотношения (11.153) в и применяя соотношение (5.320), получим

Исходя из соотношений (5.323) и (5.324), выразим через иобозначим тогда выражение (11.154) можно преобразовать к следующему виду:

Здесь можно использовать только значения удовлетворяющие второму равенству. Подставляя выражение для и используя рекуррентные формулы § гл. V и соотношение (5.320), получим

Остается определить так, чтобы при выражение (11.146) совпадало с (11.140), когда Опуская общие для каждой компоненты множители, имеем

Умножим обе части скалярно на и проинтегрируем в пределах от а до представив этот интеграл в виде разности двух интегралов: от 0 до а и от 0 до . В силу соотношений (11.146), (11.153), (11.154) и (5.342) в правой части остается только член, а значение дается выражением (5.357), где Интегрируя левую часть при помощи соотношений и (5.329) и разрешая полученное равенство относительно для из выражения (11.151) найдем

Выражение (5.357) при определяет правую часть соответствующего выражения для Интегрируя левую часть при помощи соотношений (5.328) и (5.329) и разрешая полученное равенство относительно для из выражения (11.143) получим

Полное поле внутри оболочки в любой момент времени определяется формулами (11.147), (11.159), (11.160), (11.155) и (11.157), где вычисляются из соотношений (11.153) и (11.156). Если при ноля не было, а в момент времени возникло поле В, то из выражений (11.141) и (11.147) следует, что вектор-потенциал внутри оболочки окажется равным

Эти решения были также получены другим методом При произвольном изменении В во времени на основании полученных результатов поле можно найти методами, аналогичными развитым в предыдущем параграфе.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)