§ 21. Многоугольник с углом, равным нулю.

В этом очень важном случае ось складывается до тех пор, пока обе стороны угла а не станут параллельными друг другу и, следовательно, верхняя часть

полуплоскостй не окажется сжатой между ними. Две параллельные, но пересекающиеся линии, могут находиться на конечном расстоянии друг от друга, если их точка пересечения бесконечно удалена. Тогда вместо преобразования (4.87) имеем

Как и раньше, будем считать действительной величиной, а Начало координат преобразуется в а новое начало координат соответствует точке Запишем в виде положим тогда что соответствует действительной оси плоскости z. Если же положить то что соответствует линии, расположенной над действительной осью на расстоянии от нее. Таким образом, верхняя полуплоскость преобразуется на плоскости z в горизонтальную полоску. При этом радиальные линии становятся горизонтальными линиями а полуокружности переходят в вертикальные линии, имеющие длину Часто приходится встречаться с задачами, в которых конфигурация системы периодична; это означает, что и поле в системе можно разбить на одинаковые полоски. Оказывается, что при решении таких задач большую пользу может оказать преобразование (4.88). Для примера найдем поле в системе, состоящей из заряженной нити, находящейся между двумя параллельными проводящими заземленными плоскостями. Возвращаясь к плоскости мы получаем задачу о поле нити над параллельной проводящей, заземленной плоскостью. При помощи метода изображений, рассматриваемого в § 7. и формулы (4.63) легко написать требуемую функцию

Пусть при т. е. тогда

Преобразуем это поле на плоскость z, положив и подставив в выражение из формулы (4.88), в результате получим

Используя (Двайт, 654.1, 655.1 и 702), мы получим

После разделения действительных и мнимых частей придем к следующему:

На фиг. 35 показаны плоскости Если разность потенциалов пластин равна то к полученному решению нужно добавить однородное вертикальное поле, описываемое функцией

Фиг. 35. Линейный заряд между заземленными пластинами.

Окончательное решение тогда можно записать в виде

где потенциальная функция. Пусть теперь в однородное поле помещена плоская решетка, состоящая из параллельных проводов, отстоящих на расстоянии а друг от друга. Для решения такой задачи нужно поместить заряды в точку и в точку проделать преобразования аналогичные предыдущим. На плоскости z получится участок интересующего нас поля решетки, содержащий один проводник и ограниченный силовыми линиями, простирающимися от этого проводника до

В заключение заметим, что если построить на плоскости z силовые линии однородного электрического поля, а затем проделать обратное преобразование на плоскость то получится поле линейного заряда, уже рассмотренное в § 13.