§ 31в. Производные и интегралы от бесселевых функций нулевого порядка.

Полагая в формулах (5.323) и находим

а из формул (5.328) и (5.329) имеем

Приведем несколько полезных определенных интегралов, содержащих Из выражения (5.367), пользуясь формулой (854.1) из справочника Двайта, нолучаем

Изменив порядок суммирования и интегрирования и воспользовавшись формулой (Двайт, 415.02), будем иметь

откуда

Применяя известные тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и интегрируя по частям, нетрудно показать, что выражения, удовлетворяющие рекуррентным формулам (5.322) — (5.324), имеют вид

При выражение (5.372) сводится, очевидно, к выражению (5.371).

Непосредственная подстановка в уравнение (5.302) и интегрирование по частям показывает, что выражение

удовлетворяет уравнению Бесселя при . Постоянная определяется при определяемых соответственно по формулам (5.373) и (5.314).

Нетрудно показать, что соотношение (5.363) сохраняется при замене z на таким образом,

Откуда, разделяя действительную и мнимую части, находим, что при

При будем иметь