§ 11а. Инверсия потенциала и зарядов-изображений.

Покажем, что законы инверсии можно сформулировать для электрических величин таким образом, что из решения одной задачи можно получить решение другой, в которой границы раздела являются поверхностями, инвертированными по отношению к соответствующим поверхностям первой задачи. Рассмотрим фиг. 48, на которой точки инвертированные по отношению к точкам центр инверсии. Заряд в точке создает потенциал в точке а заряд в точке создает потенциал в точке Треугольники и подобны, поскольку и угол а — общий. Искомое соотношение между потенциалом V в точке до инверсии и потенциалом V в точке после инверсии имеет, следовательно, вид

Фиг. 48.

Чтобы использовать это соотношение, следует установить подходящий закон инверсии зарядов. В § 7 было показано, что сфера радиуса К имеет нулевой потенциал в поле заряда расположенного в точке и заряда расположенного в инвертированной точке Если потенциал сферы после инверсии относительно самой себя (т. е. меняющей местами заряды) остается равным нулю, то закон инверсии зарядов должен быть

Отношению приписан положительный знак, поскольку мы потребовали, чтобы инверсия сохраняла знаки зарядов неизменными. Подставляя эти величины в уравнение для инверсии потенциала, получим соотношение

Формула (5.53) показывает, что если при конечном расстоянии потенциал то Это означает, что если некоторая поверхность имеет нулевой

потенциал в поло точечных зарядов находящихся в точках расположенных на коночных, отличных от нуля расстояниях от центра инверсии, то инвертированная поверхность будет иметь нулевой потенциал в поле инвертированных зарядов находящихся в точках Упомянутое выше ограничение необходимо, поскольку соотношение (5.52) не имеет места, когда равно нулю или бесконечности. Из сказанного выше следует также, что в тех случаях, когда некоторая задача решается при помощи изображений, «иппертироватшан» задача также решается при помощи изображении.