§ 10. Вынужденные колебания в индуктивно связанных контурах.

Найдем токи в контурах, изображенных на фиг. 99. В этом случае, согласно соотношениям (10.33) и (10.34), а также (9.50) — (9.53), имеем

Пользуясь соотношением (10.37), получим выражения для токов

где

Взяв действительную часть произведения как это делалось в выражении (10.4), находим

где

и

Далее

где

Исходя из выражения (10.46) или (10.50) и (10.52), получаем

Представляет особый интерес найти те значения которых величины максимальны или минимальны.

Фиг. 99.

Прежде чем излагать обычные приближенные методы, наметим строгий путь вычисления этих значений. Приведем выражение к форме, более удобной для дифференцирования; сравнив соотношение (10.45) с (9.68) и заменив на получим

Таким образом, при помощи уравнения (9.69) находим

Умножая эту величину на комплексно-сопряженную и извлекая из полученного результата квадратный корень, будем иметь

Определить максимальное и минимальное значения амплитуды без построения кривой трудно, но для вычисления упрощаются; дифференцируя выражение амплитуды тока по и приравнивая результат нулю, получаем в дополнение к следующее соотношение:

Это — уравнение четвертой степени относительно корни его находятся при помощи формул § 11 гл. IX. Каждому положительному действительному корню соответствует максимум или минимум тока Для. выяснения вопроса о том, какому корню соответствует максимум, следует

подставить этот корень в уравнение (10.54). Тем самым определится также величина амплитуды.

Обычно частоту переменного тока в электрической цепи определяют, связывая эту цепь с контуром, имеющим откалиброванное реактивное сопротивление; изменяя реактивное сопротивление, можно получить максимальную амплитуду тока в контуре. Такой контур называется волномером. Пусть параметры электрической цепи и частота о зафиксированы, тогда максимум тока возникнет, согласно выражению (10.51), при условии

Получаемое после дифференцирования соотношение разрешим относительно тогда

Отсюда, согласно выражениям (10.51) и (10.49), находим для тока

При очень слабой связи и в соответствии с соотношением (10.56) получаем

Эта частота совпадает с собственной частотой волномера, если мали. Сохраняя частоту постоянной, настроим теперь оба контура, тогда к соотношению (10.56) добавляется условие

Для удовлетворения соотношений (10.56) и (10.59) необходимо, чтобы

или

где имеют одппаковый знак. Но, поскольку действительные величины, соотношение (10.61) не может иметь места, если поэтому при слабой связи ( мало) справедливо соотношение (10.60) и максимум оказывается при

Формула (10.57) принимает вид

При сильной связи имеет место соотношение (10.61) и

где

Выражение (10.64) показывает, что при достаточно сильной связи максимальный ток не зависит от и . Следует помнить, что при больших значениях выражения для являются положительными, а при малых значениях — отрицательными.