§ 16. Поле соленоида с произвольным шагом намотки.

В качестве одного из элементов электрической цепи очень часто применяется соленоид. Он состоит из провода, намотанного в виде спирали, изображенной на фиг. 70. Пусть уравнение этой спирали имеет вид

где а — шаг намотки, т. е. z возрастает на при увеличении на Напишем z-компоненту вектора В [см. выражение (7.77)]

Компоненты для точки наблюдения, расположенной на оси соленоида, будут равны

Найдем попе на оси соленоида, имеющего витков; поле подводящих проводников не будем принимать во внимание, считая, что его можно вычислить отдельно. Расположим начало координат в точке, где требуется вычислить и подставим в выражение (7.81) значение Выбирая пределы интегрирования

находим после интегрирования (см. Двайт, 200.03), что компонента на расстоянии от цептра соленоида равна

Обозначая через и углы между осью соленоида и векторами, проведенными из точки к концам провода, образующего соленоид, полученное выражение можно записать в виде

Фиг. 70.

Следует заметить, что если точка находится внутри соленоида, то один из углов или (32) должен быть больше поэтому один из косинусов всегда отрицателен. Пусть расстояние между крайними концами провода соленоида равно тогда

и при наличии витков на единицу длины так что

Формулы (7.82) и (7.83) для аксиальной компоненты поля на оси являются совершенно строгими. Однако если то кроме этой компоненты существуют также и другие. Вычисления, аналогичные только что проделанным, дают

Это быражение, вообще говоря, отлично от нуля.

Этот интеграл в общем случае также не равен нулю. Таким образом, силовые линии не являются прямыми, а имеют вид спиралей.

В важном случае бесконечно длинного соленоида выражения (7.82) и (7.83) принимают вид

При этом x-компонента обращается в нуль, так как выражение (7.84) будет представлять собой интеграл от нечетной функции, а вместо выражения (7.85) получаем

Проинтегрируем второй член, стоящий под знаком интеграла, но частям, полагая и после чего получим

Если положить то второй интеграл оказывается, согласно формуле (5.444), равным эта величина является модифицированной функцией Бесселя второго рода, рассматривавшейся в § 346 гл. Очевидно, значение первого интеграла можно получить посредством дифференцирования второго интеграла по аргументу и деления результата на так что в соответствии с формулой (5.444) имеем

Если или то и поле является аксиальным. При или соленоид превращается в прямолинейный провод, параллельный оси z и расположенный от нее на расстоянии а. В этом случае как следует из результатов § 34а гл. V, , откуда

что вполне согласуется с выражением (7.79).