§ 6. Вектор-потенциал в цилиндрических координатах.

В гл. V было найдено, что общее решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах выражается в виде суммы членов, содержащих, за исключением Некоторых частных случаев, функции Бееселя. Найдем теперь аналогичное решение для вектор-потенциала, который на поверхности прямого круглого цилиндра можно разложить но ортогональным функциям. Выражая тангенциальную компоненту вектор-потенциала на поверхности в виде суммы таких решений, можно тем самым определить его значение в любой внутренней точке цилиндра. Пользуясь решением уравнения выраженном в функциях Бесселя (см. § 306 гл. V), и полагая к для функции входящей в соотношение (7.17), получим

Тогда из соотношения (7.17) для вектор-потенциала имеем

что совпадает с ортогональной поверхностной векторной функцией, определенной ранее выражением (5.347). Если для данного значения z какая-либо из компонент вектора при а обращается в нуль, то при этом значении z вектор можно представить в виде суммы таких функций. Редко употребляемая форма записи, содержащая получается, если положить равным нулю, а произведения и сохранить конечными.

Чтобы получить решение, соответствующее тангенциальной компоненте вектора А, заданной на боковой поверхности, воспользуемся функциями (5.311), ортогональными по Тогда вместо выражения (7.24) получим

Компонента z удовлетворяет скалярному уравнению Лапласа; ее можво записать в виде

Решения, полученные выше, непригодны при значениях этом случае решения, соответствующие выражениям (7.26) и (7.27), будут

При не существует решений, одновременно ортоговальных по и приводящих к заданному значению А на торцах цилиндров. Если же равны вулю то из соотношения (5.308) можно вайти некоторые представляющие интерес формы решений, если положить

Другие крайне редко требующиеся решения можно найти путем использования в выражении для функции векторов или