§ 21. Распределение тока в сферической пленке.

Считая, что для сферической пленки V не зависит от можно на основании уравнения (3.17) представить уравнение (6.91) в виде

где полярный, а азимутальный угол. Хотя сферическую пленку нельзя развернуть на плоскость, однако каждую точку сферической поверхности можно спроектировать на бесконечную плоскость таким образом, что величины углов не изменятся. Эта операция называется стереографической проекцией и весьма похожа на инверсию. На одном из концов диаметра строят плоскость, касательную к сфере. Линия, проходящая через другой конец диаметра О и точку (фиг. 64), пересекает плоскость в точке которая называется проекцией точки Пусть решение уравнения непрерывности для плоскости, где это уравнение, согласно (4.4), имеет вид

Фиг. 64.

При проектировании на сферу системы кривых, изображающих азимутальный угол не меняется. Из фиг. 64 видно, что и 6 связаны соотношением

Уравнение спроектированных кривых можно получить, если в уравнение (6.93) подставить вместо

тогда уравнение (6.93) примет вид

Это уравнение совпадает с уравнением (6.92). Таким образом, стереографическая проекция решения уравнения непрерывности для плоскости дает решение этого уравнения для тонкой однородной сферической пленки.

В § 10 гл. IV было показано, что являются решениями уравнения где

если аналитическая функция. Из сказанного выше вытекает, что если

то и будут решениями уравнения непрерывности на поверхности сферы радиуса а, причем, если потенциальная функция, то V — функция потока, и наоборот. Из законов инверсии следует, что прямые на плоскости при проектировании на сферу дают окружности, проходящие через точку О, а окружности на плоскости переходят в окружности на сфере.

В качестве примера найдем распределение потенциала в сферической пленке радиуса а, имеющей поверхностное удельное сопротивление с, когда ток втекает в нее в точке и вытекает в точке Заменяя, согласно § 15, величину заряда в соотношении (4.66) на мы получим для распределения потенциала в плоской пленке следующее выражение:

Но, как видно из фиг. 64, В, так что

Таким же путем из соотношения (4.68) можно получить уравнение линии тока: