§ 13. Решения волнового уравнения в сферических координатах.

В изотропной непроводящей среде на расстояниях, значительно превышающих размеры источника, все волны являются сферическими. Поэтому в задачах об излучении наиболее полезной формой решения волнового уравнения является решение в сферических координатах, имеющее вид суммы произведений ортогональных функций, взятых с коэффициентами, определяемыми заданными граничными условиями. Как мы видели в § 2 гл. XIII, полное поле излучения в этом случае описывается вектор-потенциалом, дивергенция которого равна нулю и который можно выразить, как было указано в § 2 гл. XI, через два решения скалярного волнового уравнения, т. е. если, согласно уравнению (11.12),

то решение первого уравнения определяется через решения остальных по формуле

Заметим, что решение, соответствующее приводит к вектор-потенциалу, а следовательно, и к электрическому полю, направленному перпендикулярно к Эти ноля называются поперечно-электрическими волнами и отмечаются индексом По формуле (11.14) вектор магнитвой индукции будет равен

Отсюда видно, что магпнтыое поле, определяемое из ориентировано нормально к поэтому эти волны называются поперечно-магнитными. Уравнение (14.81) решается так же, как и в § 6 гл. XI, по только для большей общности мы добавим множитель :

Подставив выражение (14.84) в (14.81), получим для дифференциальное уравнение (11.53), для — уравнение (5.102), а для уравнение

Таким образом, если положить то решение для запишется в виде

Сферические функции Бесселя обозначены здесь так как и в § 32 и 38 гл. V, а именно:

Первая функция в комбинации с множителем представляет стоячую волну, а вторая, в зависимости от того, является ли положительным или отрицательным числом, представляет соответственно расходящуюся или сходящуюся волну.