§ 20. Излучение из отверстий в плоском проводящем экране.

Строгое решение задачи о нахождении поля, излучаемого сквозь отверстие.

чрезвычайно сложно. Поля должны удовлетворять не только волновым уравнениям вне отверстия и определенным условиям на его границах, но и непрерывно соединяться с полями, существующими на самом отверстии. Последние обычно очень сильно меняются под действием отраженного излучения, возникающего вследствие наличия экрана. Поэтому строгое решение задачи возможно лишь в очень ограниченном числе случаев, когда математически можно рассматривать все пространство, где существует поле, как единую область.

В § 12 было доказано, что задание начальных значений полей во всей области, а также задание тангенциальных компонент электрического или магнитного полей на поверхности, ограничивающей эту область, однозначно определяют поля в любые последующие моменты времени. Для установившихся процессов имеет смысл только одно второе условие. В случае идеально проводящего экрана целесообразно оперировать с электрическим полем, потому что его тангенциальная составляющая на поверхности экрана равна нулю, т. е. известна. В качестве первого приближения при нахождении неизвестного электрического поля на отверстии лучше всего, повидимому, взять значения поля, существующего в отсутствие экрана. Приводимое ниже рассмотрение относится только к случаю плоских проводящих экранов; на форму и количество отверстий, равно как и на структуру падающей волны, не будет накладываться никаких ограничений.

Фиг. 131.

Нам нужно найти источник, создающий такое ноле тангенциальная компонента которого исчезает на всей бесконечной плоскости, кроме ее участка где она равна некоторой заданной величине. Рассмотрим тонкий двойной лист с током. Пусть расстояние между слоями тока очень мало, а плотности токов в них равны по величине и противоположны по направлению, как это показано на фиг. 131, а. Если ток постоянен вдоль своего направления, то он весь проходит через края, где его направление меняется на обратное; если же плотность тока в центре больше, чем на краях, то, как это показано на фиг. 131, б, часть тока возвращается назад еще до достижения краев. Поскольку лист считается очень тонким, то внешнее магнитное поле пренебрежимо мало по сравнению с полем между слоями. Поэтому, применяя теорему о циркуляции к прямоугольному контуру ориентированному перпендикуляно и своей большой стороной плотно прилегающему к верхнему слою (фиг. 131, а), мы найдем, что Далее, под действием изменения потока магнитной индукции сквозь площадку контура в последнем возникнет равная, в силу симметрии, при так что напряженность электрического поля непосредственно над поверхностью листа будет равна Такой двойной слой тока можно, очевидно, выполнить при помощи бесконечно малых соленоидов длиной имеющих поперечное сечение и магнитный момент равный, если его выразить через величине Эти элементарные соленоиды нужно распределить таким образом, чтобы они создавали требуемое изменение поля вдоль поверхности. Из симметрии очевидно, что вне границ двойного слоя создаваемое им поле будет нормальным к поверхности экрана. Согласно выражению (14.97), вектор-потенциал, описывающий поле, создаваемое в некоторой точке маленькой петлей тока, ориентирован перпендикулярно к оси

последней и прямо пропорционален синусу угла между этой осью и радиус-вектором направленным от петли в точку Подстановка только что найденной величины момента вместо момента петли входящего в выражение (14.97), дает

где - единичный вектор вдоль направления На больших расстояниях членом с в подинтегральном выражении можно пренебречь по сравнению с . В общем случае амплитуда, направление и фаза могут меняться вдоль поверхности отверстия.

Рассмотрим систему источников электромагнитного поля, находящихся над плоскостью а также систему их изображений с противоположными знаками, находящихся под этой плоскостью. Ясно, что на плоскости тангенциальные составляющие электрического и нормальные составляющие магнитного полей, создаваемых обеими системами, вычитаются и исчезают, тогда как нормальные составляющие электрического и тангенциальные составляющие магнитного полей складываются. Поэтому если любую часть плоскости покрыть тонким листом идеально проводящего металла, то это не приведет к искажениям поля. Если после этого изображенные источники убрать совсем, то на отверстии нормальные составляющие электрического и тангенциальные составляющие магнитного полей, создаваемые истинными источниками, останутся без изменений, так как вихревые токи, текущие в проводящей плоскости, оказывают действие только на нормальные составляющие магнитного и тангенциальные составляющие электрического полей. Таким образом, когда электромагнитная волна произвольного вида падает на плоский и идеально проводящий лист произвольной формы, нормальные составляющие электрического и тангенциальные составляющие магнитного полей остаются невозмущенными на отверстиях, прорезанных в этом листе. Поэтому из выражения (14.138) имеем

Это интегральное уравнение можно решить относительно на отверстии. Подставив результат в выражение (14.138), мы получим совершенно строго диффрагированное поле в случае бесконечно тонкого плоского проводящего экрана произвольной формы.

Если магнитное поле в падающей волне ориентировано параллельно экрану и длина волны значительно превосходит размеры отверстия, то часто можно найти, исходя из теории потенциала, точную величину отношения нормальной и тангенциальной компонент вектора магнитной индукции на отверстии и отсюда уже определить величину тангенциальной составляющей напряженности электрического поля. Перемещение прямоугольника вдоль уменьшает величину ровно настолько, насколько уменьшается величина Это уменьшение, в свою очередь, равно скорости изменения потока магнитной индукции, выходящего через обе поверхности двойного слоя на участке между двумя соседними положениями контура Таким образом, на отверстии, прорезанном в плоскости если имеет только «-составляющую, имеем

Путем интегрирования этого уравнения находим тангенциальную составляющую входящую в выражение (14.138). Решение статической задачи

позволяет определить В, на отверстии через значение тангенциальной к плоскости экрана компоненты В вдали от отверстия. Эта величина относится к стоячей волне, поэтому она в два раза превышает величину В в падающей волне, появляющейся в отверстии. В конце главы помещены примеры, в которые включены результаты Бете о диффрактцш на малых отверстиях.