§ 13. Сферические гармоники.

Когда граничные условия электростатической задачи имеют простой вид в сферической системе координат, целесообразно воспользоваться общим решением уравнения Лапласа в этой системе. Это решение можно получить точно таким же путем, что и в § 2 гл. IV. Пусть расстояние от начала координат, — полярный угол, отсчитываемый от оси азимутальный угол, отсчитываемый вокруг оси z от плоскости в этих переменных уравнение Лапласа имеет, согласно (3.17), вид

Будем искать решение в виде

где функция только в — функция только функция только Функция называется поверхностной сферической гармоникой, а функция (при зональной гармоникой. Подставив в уравнение (5.82) и разделив на будем иметь

Первый член этого уравнения зависит только от другие содержат только угловые координаты. Уравнение удовлетворяется, следовательно, в любой точке только в том случае, если

Нетрудно видеть, что решением последнего уравнения является

где Подставляя это значение К в первое уравнение и умножая на получим

Решение (5.83а) приобретает, таким образом, вид

Очевидно, что V будет решением уравыепия Лапласа только в том случае, если величины в обоих членах одинаковы и равны индексу функции Сумма (или интеграл) по состоящая из членов типа (5.86), также будет решением.

В частном случае при уравнение (5.85) принимает вид

В § 21 гл. VI будет показано, что или пли V удовлетворяют этому уравнению, если

Таким образом, каждая сопряженная функция предыдущей главы даст два решения уравнения Лапласа в трехмерном пространстве после замены х на на и умножения на Особенно важные решения, получающиеся при имеют вид