§ 11. Решение задачи о вихревых токах в плоской бесконечной пластинке методом изображений.

Представим себе, что тонкая бесконечная плоская проводящая пластинка находится в магнитном поле, источники которого расположены в области Пусть в момент времени поле изменяется так, что если при его вектор-потенциал был равен то при Из результатов предыдущего параграфа следует, что вихревые токи, появляющиеся в момент времени сохраняют прежней величину вектор-потенциала на поверхности пластинки, поэтому вначале поле в отрицательной области z остается неизменным. Таким образом, на отрицательной стороне пластинки началь вектор-потенциал, обусловленный только вихревыми токами, равен

Это поле могло быть создано старым источником совместно с новым источником, если у последнего изменить знак на обратный. Эти воображаемые источники, которые могут заменить действительно действующие вихревые токи, являются изображениями, подобными изображениям в электростатике.

Поскольку не зависит от I, то уравнение (11.85) сводится к уравнению

общим решением которого, удовлетворяющим при условию (11.86), является следующее:

Знак z выбран таким, чтобы сделать А одинаковым при как того требует симметрия задачи, и чтобы величина А затухала со временем. Таким образом, уравнение показывает, что к полю А, которое существовало бы в отсутствие пластинки, добавляется по обе стороны от пластинки

затухающее поле, порождаемое вихревыми токами, которое можно представить как иоле источников, находящихся сверху и снизу иластннки и удаля гощихся от нее с постоянной скоростью

Максвелл предложил формулу для этого закона изображении, которую можно использовать при любом характере изменения поля. Пусть вектор-потенциал возбуждающего поля равен

За бесконечно малый интервал времени это иоле изменится на вели чину

Первоначальное поле вихревых токов, появляющееся в тот же интервал времени, должно быть равно этому изменению по величине и противоположно по направлению. Как мы видели, это поле уменьшается со временем так, как ноле воображаемых источников, находящихся по обе стороны пластинки и удаляющихся от нее с постоянной скоростью Таким образом, вектор-потенциал вихревых токов в момент времени описывающий поле источников-изображений, возникших до момента времени в течение интервала будет определяться выражением

В момент времени полный вектор-потенциал вихревых токов равен

При величину надо заменить на поскольку (см. Пайерс, 863) подстановка этого выражения вместо в соотношение (11.90) и интегрирование, при условии, что при дают полное результирующее поле

Вычислить этот интеграл часто проще, чем (11.90).