§ 9. Функция Грина.

Пусть потенциал, создаваемый единичным зарядом, находящимся в точке потенциал, создаваемый индуцированным поверхностным зарядом плотности расположенным на некоторой замкнутой заземленной поверхности окружающей точку Единичный заряд в точке можно рассматривать как заряд, объемная плотность которого всюду равна нулю, за исключением бесконечно малого объема вблизи в котором можно считать величиной постоянной и равной Учитывая, что где расстояние от и что всюду внутри внутри а вне равно нулю, и принимая во внимание, что на поверхности из выражения (3.22) получим

где, как и в § 1 и 7, за положительное направление и принято направление из объема Обозначим через Тогда

Мы будем называть функцию функцией Грина, хоти многие авторы именуют функцией Грина функцию Очевидно, что является решением уравнения Лапласа, равным нулю на границе и имеющим простой полюс в точке . С электрической точки зрения это решение представляет потенциал, создаваемый единичным зарядом, находящимся в некоторой точке

внутри заземленной проводящей поверхности Как правило, по формуле (3.26), совпадающей с формулой (1.8), нельзя определить так как очень редко плотность заряда на проводнике о оказывается известной. В последующих главах будет приведено много методов определения функции для систем с различными формами границ.

Силу действующую вдоль направления ил на заряд находящийся в точке с координатами (см. § 4), можно выразить через функцию по формуле

Первое выражение имеет место в силу того, что при малых о создаваемые индуцированными зарядами поля в точках одинаковы, в то время как поля, создаваемые зарядом, равны по величине и противоположны по направлению и, таким образом, уничтожаются. Второе выражение следует из формулы (2.13), так как изменение не вызывает изменения энергии самого заряда, а влияет только на энергию индуцированных зарядов.