§ 30г. Решение уравнения Бесселя.
Положим в уравнении 
тогда
и, следовательно,
Если коэффициент 
конечен, то коэффициенты 
д. равны нулю. Пусть 
что сводится к 
при целых 
Тогда, применяя последовательно формулу (5.313) и заменив 
на 
получим
Функция 
носит название функции Бесселя первого рода 
порядка. Очевидно, что при 
как будет показано в § 31г, 
Поскольку дифференциальное уравнение (5.302) второго порядка, оно должно иметь еще второе решение. В случае, когда 
— не целое число, 
решением будет 
но когда 
целое число, решения 
не являются независимыми. Чтобы показать это, заменим 
на 
в выражении (5.314); тогда, так как 
ряды для 
совпадают. Когда 
не целое число, второе решение дается формулой
Если 
целое число, то формула (3.315) дает 
Для раскрытия неопределенности заменим в выражении 
на 
разобьем сумму по 
от О до 
на две суммы - от 
до 
и от 0 до 
заменим в первой 
на 
и во второй 
на 
(Двайт, 850.3).
Если подставить полученное выражепне в формулу (5.315) вместо 
и заменить 
на 
то будем иметь
Согласно выражению (5.314), скобка обращается в нуль при 
так что первый член опять дает 
Чтобы раскрыть неопределенность, продифференцируем каждый множитель по 
и подставим 
вместо 
Воспользовавшись справочником Янке и Эмде (стр. 108), находим
где 
— постоянная Эйлера. При помощи этой форму 
а также формулы (563.3) из справочника Двайта неопределенность 
раскрывается; если обозначить 
через 
то
Общее решение уравнения Бесселя, когда 
целое число, имеет, таким образом, вид
Отметим, что функция 
обращается в бесконечность; в § 31г будет показано, что функция 
обращается в нуль. Для функции, определяемой формулой (5.316), существует много обозначений. В книге Ватсона и British Association Tables используется 
Янке и Эмде, Щелкунов и Стрэттон пользуются 
Грэй, Метьюз и Макроберт — 
Подстановка 
в уравнение (5.76) приводит к уравнению (5.302), так что, если 
известное решение, формула (5.77) дает
Дифференцируя это равенство и опуская аргумент, получаем
Согласно рекуррентным формулам, - величина В не зависит ни от 
ни от 
следовательно, может быть вычислена для простейшего случая 
и малых 
В зтом случае в выражении (5.316) существенен только логарифмический член; этим членом и его производной можно заменить 
в уравнении (5.319). При подстановке логарифмический член сокращается, и величина В оказывается равной 
так что уравнение (5.319) принимает вид
Для цилиндрических электромагнитных волн пользуются функциями Ханкеля
которые в комбинации с 
дают бегущие волны.
