§ 19. Разложение плоской волны по цилиндрическим гармоникам

Для плоской синусоидальной волны, распространяющейся в направлении и, согласно § 16 гл. XIII, имеем

где направление перпендикулярно к оси z и составляет с плоскостью угол координаты в плоскости, нормальной к Плоскую волну можно выразить через цилиндрические гармоники. Для этого нужно последний экспоненциальный множитель в формуле (14.132) разложить в комплексный ряд Фурье. Однако, чтобы использовать уже полученные соотношения, проще разлагать в ряд отдельно действиельнук и мнимую части. Разложим сначала в ряд Фурье функцию

Воспользовавшись формулой (401.06) из справочника Двайта и учитывая, что в случае четной подинтегральной функции вместо интеграла от до те достаточно взять интеграл от 0 до и умножить его на 2, получим

Но, согласно соотношению (5.372), эти интегралы равны поэтому все соответствующие «-нечетным, равны нулю, и если обозначить через то

Точно таким же путем разлагается в ряд и функция для которой вместо суммы получаем их разность

Помножив (14.135) на и сложив с (14.134), мы придем к разложению» экспоненциальной функции, для которой, в прежних обозначениях , ряд имеет следующий вид: