соотношениями (8.1) и результатами § 8 гл. VII, можно выразить 
через 
и затем при помощи закона Ома (6.6) — через ток
Откуда, если вектор-потенциалы равны нулю при 
имеем
где 
плотность тока, 
удельное поверхностное сопротивление. Пусть выражение для вихревых токов в пленке представлено в виде ряда по зональным гармоникам, где 
гармоника тока. Из выражений (7.61) и (7.64) можно найти простое соотношение между 
членом разложения вектор-потенциала этих токов, а именно:
Если 
также разложить в ряд по сферическим гармоникам, то, подставляя выражение (11.111) в (11.110), мы видим, что разложения 
и связаны между собой на поверхности пленки 
уравнением
Если при 
возбуждающее поле 
постоянно, а в момент времени 
поле вихревых токов известно и равно
то, очевидно, решение уравнения (11.112), определяющее закон убывания вихревых токов, имеет вид
Предположим, что значение вектор-потенциала возбуждающего поля на поверхности сферы можно записать в форме
Изменение этого ноля, происшедшее за 
до момента времени 
за бесконечно малый интервал времени равно
Возникающие за тот же интервал времени 
вихревые токи создают поле, полностью нейтрализующее это изменение в момент его возникновения; но с течением времени поле вихревых токов убывает по закону (11.114), и к моменту времени 
мы имеем
Полный вектор-потенциал вихревых токов на поверхности сферы в момент времени 
равен
Заменим 
на 
и проинтегрируем по частям; тогда, пользуясь соотношением 
получим следующее выражение при 
для вектор-потенциала от всех источников:
В случае стационарного переменного поля величина А, которая может являться результирующим потенциалом поля как внешних, так и внутренних источников, определяется при 
выражением (11.115), где
Обозначая величину 
через 
и интегрируя выражение (11.116) (см. Двайт, 863.1 и 863.2), для вектор-потенциала поля только вихревых токов при 
получим следующее соотношение:
где 
Таким образом, отставание по фазе 
равно 
Величина 
которая обращается в нуль при 
и определяется выражением (11.119) при 
будет являться вектор-потенциалом поля вне сферы, обусловленного только вихревыми токами. Следовательно,
Внутри пленки вектор-потенциал поля вихревых токов А- должен быть всюду конечным, поэтому 
следует заменить на 
Для внешних источников 
входит в выражение для А в виде 
Согласно соотношениям (11.115), (11.118) «и (11.119), результирующее внутреннее поле равно (см. Двайт, 401.03)
Это выражение можно было бы получить непосредственно из соотношений 
и (11.119). Отношение 
члена в разложении по гармоникам новой амплитуды к соответствующему члену в разложении по гармоникам старой амплитуды равно
Из выражения (11.120) следует, что если 
очень велико, то отношение (11.123) близко к единице и поле остается неизменным, но если пленка является хорошим проводником, т. е. если 
мало по сравнению с 
то 
становится очень малым и происходит почти полное экранирование.
Плотность вихревых токов в пленке, определяемая выражениями (11.111) и (11.119), равна
Согласно формуле (6.11), мгновенное значение мощности, рассеиваемой на элементарной площадке 
пленки, равно 
а для всей пленки, учитывая, что 
получим
Если возвести в квадрат выражение (11.123) и проинтегрировать от 
до 
то все члены, содержащие смешанные произведения, согласно соотношению (5.92), исчезнут и останется сумма интегралов от квадратов величин. Таким образом, каждая гармоническая составляющая 
тока 
ведет себя как независимый ток, так что средняя мощность рассеяния в соответствии с выражением (10.18) равна
Интёгрируя при помощи соотношения (5.194), найдем окончательно мощность, рассеиваемую в сферической пленке:
где А — вектор-потенциал вихревых токов. 
вызывающая появление токов в кольце шириною а 
соответствующем углу 
, индуцируется, как известно, в результате изменения величины полного потока сквозь это кольцо. Пользуясь
