§ 4. Теоремы единственности в магнитостатике.

В § 11 гл. III были найдены необходимые условия внутри и на границе области для однозначного определения электростатического потенциала внутри нее.

Это доказательство без всяких изменений применимо и в магнитостатике — к системам, содержащим магнитодвижущую силу (см. § 29 настоящей главы), при условии, что в рассматриваемой области отсутствуют электрические токи, которые могут привести к неоднозначности в определении магнитодвижущей силы. Но при использовании вектор-потенциала требуется иное доказательство единственности. Покажем, что если заданы положение и величина всех токов внутри замкнутой поверхности, а также значение тангенциальной составляющей вектор-потенциала или магнитной индукции на самой поверхности, то значение магнитной индукции внутри рассматриваемой области определяется единственным образом. Та часть поля, которая обусловлена внутренними источниками, определяется формулами (7.5) и (7.10) однозначно. Допустим теперь, что одним и тем же внешним источникам и одинаковым значениям указанных выше величин на границе области соответствуют два различвых поля внутри нее. Если то обращается в нуль во всем рассматриваемом объеме и, следовательно, при подстановке функции

в выражение (3.23) мы получим

Если на поверхности их или поверхностный интеграл обращается в нуль, так что в любом случае в каждой точке виутрп объема поскольку величина является положительной. Но если разность равна нулю внутри всего объема, то могут отличаться друг от друга внутри лишь на градиент скаляра. Однако, как было показано в § 11 гл. при обращении градиента скаляра в нуль на поверхности он оказывается равным нулю во всем объеме поэтому при обращении разности в нуль на поверхности она равна нулю всюду ввутри тем самым А однозначно определяется через свое значение на поверхности