§ 24г. Рекуррентные формулы для присоединенных функций Лежандра.

Как было показано в § 16д и 22б, рекуррентные формулы для функций одинаковы. Знак в соответствующих формулах для функций зависит от того, изменяется ли в интервале — или или же является величиной мнимой. Ниже будут получены эти формулы, причем верхний знак будет относиться к случаю Продифференцируем выражение раз, умвожим на или на в результате, согласно формулам (5.182) и (5.183) или (5.184) и (5.185), будем иметь

Теперь продифференцируем выражение раз и умножим на принимая во внимание формулы (5.182) и (5.183) или (5.184) и (5.185), получим

Вычтем выражение (5.203) из (5.202), в результате найдем

Заменим в формуле (5.202) на и исключим используя для этого соотношение (5.204) и соотношение, получающееся из (5.204) заменой на Если разделим результат на то получим формулу

являющуюся рекуррентной относительно

Если умножим формулу (5.202) на и формулу (5.204) на вычтем одну из другой и заменим в результате на то получим рекуррентную формулу относительно

Дифференцируя выражения (5.182) и (5.183) или (5.184) и (5.185) и пользуясь приведенными выше формулами, нетрудно получить

Иногда желательно выразить через фуикции Лежандра. Для этого заменим в формуле (5.202) на разделим на подставим из формулы (5.205) и заменим в окончательном выражении на в результате будем иметь

Замена на в формуле (5.203) и подстановка в последнее из выражений (5.207) дает

Преобразуя, согласно формуле (5.206), последний, первый и средний члены этого равенства, получим соответственно