§ 12. Общие теоремы.
Общие теоремы, выведенные в гл. III из теоремы Грина, можно записать в форме, удобной для решения рассматриваемых в настоящей главе задач.
1. Если всюду на границах проводника задано значение потенциала V, а также заданы величина и местонахождение всех источников или стоков тока внутри него, то потенциал V однозначно определен во всех точках проводника.
2. Если всюду на поверхности проводника задано значение нормальной компоненты плотности тока, а также заданы величина и местонахождение всех источников или стоков тока внутри него, то тем самым определено значение разности потенциалов между любыми двумя точками проводника.
3. Если удельное сопротивление части проводника возрастает, то сопротивление всего проводника возрастает или остается неизменным.
4. Если удельное сопротивление части проводника уменьшается, то сопротивление всего проводника уменьшается или остается неизменным.
К этим теоремам можно добавить еще одну, доказательство которой будет дано ниже.
5. В проводнике всегда устанавливается такое распределение тока, при котором выделяется минимальное количество тепла.
Чтобы доказать эту теорему, предположим, что имеется отступление от распределения, задаваемого законом Ома (6.8), и что добавочная плотность тока равна 
Так как не должно быть накопления зарядов, эта добавочная плотность тока 
должна удовлетворять уравнению непрерывности 
Тепло, выделяющееся в элементе трубки тока в проводнике, согласно выражениям (6.8) и (6.11), равно
Здесь 
поперечное сечение элементарной трубки и 
ее длина. Интегрирование дает
Применив теорему Грина (3.21) ко второму интегралу, полагая 
будем иметь
Первый член в правой части равен пулю, так как 
Второй член также равен нулю, поскольку величина полного тока через электрод задана. Следовательно, в правой части выражения (6.50) отличны от нуля только первый и третий интегралы. Первый дает количество тепла, выделяющееся в проводнике, в том случае, когда выполняется закон Ома. Третий интеграл всегда положителен, поэтому при всяком отклонении от закона Ома количество выделенного тепла увеличивается.
