§ 22. Контур с отрицательным активным сопротивлением.
Переходный характер явлений, рассмотренных в гл. IX, обусловлен тем, что в контуре содержится активное сопротивление, рассеивающее энергию. При обычных температурах невозможно сделать контур без сопротивления. Однако можно поместить в контур устройство, которое содержит источник энергии и в определенных пределах изменения тока будет проявлять себя как отрицательное активное сопротивление 
Если его поместить последовательно с активным сопротивлением контура 
, то результирующее сопротивление будет
а при параллельном соединении получим
В первом случае 
если 
а во втором случае — если 
так что любые заданные колебания будут продолжаться бесконечно долго с постоянной амплитудой. Если, в первом случае, 
или, во втором случае, 
то 
отрицательно и показатель степени у экспоненты (см. гл. IX) становится положительным. В этом случае колебания, однажды возникнув, будут возрастать (по амплитуде) экспоненциально до тех пор, пока ток не превысит тех пределов, в которых это устройство действует как отрицательное сопротивление. При помощи такого устройства обычно осуществляется генерация переменного тока при частотах, слишком высоких для вращающихся электрических машин.
Фиг. 109.
Мы приведем только один пример такого контура. Возьмем простой случай, рассмотренный в задаче 3 гл. XIII, когда 
соединены параллельно (см. фиг. 109). Если 
то в контуре возможны колебания с частотой 
равной
и амплитудой, затухающей со временем экспоненциально. Поместим теперь Параллельно с 
электронную лампу, которая в ограниченных пределах ведет себя как отрицательное сопротивление. В цепи, изображенной на фиг. 109, будем рассматривать только переменные токи. Выходной ток 
источника управляется пренебрежимо малой энергией, поступающей из колебательного контура по специальному элементу связи. Например, в случае электронной лампы контур в цепи сетки можно индуктивно связать с 
Тогда анодный ток 
будет некоторой функцией напряжения на сопротивлении 
которую для малых значений V можно считать линейной. Таким образом,
Согласно обозначениям, указанным на фигуре, имеем
и
Дифференцируя соотношение (10.135) и подставляя значения производных тока из (10.133) и (10.134), после преобразований получим
Допустим, что величина 
достаточно велика и, следовательно, второй член при малых V отрицательный. Будем искать периодическое стационарное решение в виде
Для нахождения связи между основной частотой и амплитудами гармоник умножим уравнение (10.136) на V и проинтегрируем по всему периоду. Второй член обращается в нуль, и после интегрирования по частям первого члена получаем
Подставляя значение V из выражения (10.137) и разрешая полученное соотношение относительно 
будем иметь
Фиг. 110.
Рассмотрим случай, когда система только что перешла за порог самовозбуждения. В этом случае второй член в уравнении (10.136) оказывается с малой отрицательной величиной и в первом приближении им можно пренебречь; в результате поручаем частоту 
совпадающую с собственной частотой контура в отсутствие активного сопротивления. Исследуя выражение (10.138), мы видим, что амплитуды гармоник в этом случае также пренебрежимо малы.
Чтобы определить амплитуду основного колебания в стационарном состоянии, необходимо принять определенное выражение для функции 
в формуле (10.133). Разумно определить 
следующим аналитическим выражением:
согласно которому при малых V второй член в уравнении (10.136) отрицательный, если 
На фиг. 110, представляющей функцию 
видно, что полученная кривая сильно напоминает сеточную характеристику триода, когда рабочая точка находится в середине характеристики (в точке перегиба). При помощи выражения (10.139) можно определить постоянные 
через параметры характеристики лампы и величину обратной связи. После этого уравнение (10.136) принимает вид
Умножим это уравнение на 
и проинтегрируем по 
каждый член по частям (см. Двайт, 79), принимая в каждом случае 
так что 
После выбора пределов интегрирования 
первый и третий члены исчезают, а произведение 
от второго члена дает
Лодставляя сюда вместо V его выражение (10.137), полагая 
для всех 
и выбирая, начальный момент времени, когда 
можно проинтегрировать по частям второй член, принимая 
Произведение 
при подстановке пределов исчезает и, пользуясь формулой (858.3) из справочника Двайта, находим
или
Выполняя интегрирование (см. Двайт, 460.1, где следует вместо 
взять 1, а вместо 
взять 
и умножая на 
, получим
Избавляясь от дробило показателя степени, будем иметь
Из этого выражения следует, что возможна нулевая амплитуда. Это означает, что для получения колебаний с. амплитудой, отличной от нуля, необходим начальный толчок, например - разряд конденсатора. Из выражения в квадратных скобках получаем амплитуду стационарных колебаний
Заметим, что в стационарном состоянии, когда второй член в уравнении (10.136) мал, частота зависит только от 
в то время как амплитуда определяется только величиной 
и свойствами генератора. Более сложные системы рассматриваются у Ван дер Поля и в других работах, список которых указан в конце главы.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
