§ 30ж. Интегралы от бесселевых функций.

В § 276 настоящей главы был получен ряд по сферическим гармовикам, удовлетворяющий на конусе условию Для этого порядок гармоник был подобран таким образом, чтобы Для определения коэффициентов разложения необходимо было (см. § 27а) вычислить интеграл по 6 в пределах от 0 до а от произведения двух гармоник. Точно так же для получения ряда по бесселевым функциям, удовлетворяющего условию на цилиндре необходимо вычислить интеграл от произведения где подобраны так, чтобы удовлетворить граничным условиям.

Пусть два решения уравнения Бесселя. Тогда, согласно § 30б,

Умножая первое уравнение на второе — на вычитая одно из другого и интегрируя, находим

При интегрировании по частям интегралы сокращаются и остается

Это выражение обращается в пуль, если

или если

или если

Поэтому при имеем

Когда имеет место

поскольку

Для вычисления интеграла в случае умножим уравнение Бесселя (5.302) на это даст

Проинтегрируем это выражение от 0 до а и применим интегрирование по частям в первом и третьем членах. В результате получим следующее выражение, которое равно нулю:

Второй и третий члены в нем сокращаются; разрешая это уравнение относительно пятого члена, имеем

Подстановка производных из выражения (5.323) дает

При применении вектор-потенциала нам представится случай воспользоваться ортогональными свойствами векторных функций

Интеграл от нуля до а от скалярного произведения этих функций равен

При помощи формул (5.322) — (5.327) это выражение можно записать в виде суммы двух интегралов типа (5.343)

Вычислим каждый из интегралов по приведенной выше формуле для сложим результаты и затем исключим производные посредством формул (5.322) и (5.323). В полученном выражении члены, не содержащие функций порядка, исчезают; группируя в оставшихся членах функции порядков, применим к ним те же формулы (5.322) и (5.323). В результате описанной выше операции, считая будем иметь

При интеграл обращается в нуль, если выполнено одно из условий случае сумма интегралов, входящих в выражение (5.349) и вычисленных при помощи формулы (5.346), равна

Таким образом, поверхностную векторную функцию одна из компонент которой обращается в нуль при можно представить в виде суммы членов вида