§ 10. Сопряженные функции.

Напишем двухмерное уравнение Лапласа в прямоугольных координатах

Это уравнение второго порядка в частных производных. Его общее решение должно содержать две произвольные функции и, как легко убедиться путем дифференцирования, может быть записано в виде

Заметим, что для того, чтобы были решениями уравнения (4.52), они должны иметь конечные производные в той области, где справедливо это уравнение, и, следовательно, должны являться аналитическими функциями, т. е. функциями, разлагаемыми в степенной ряд. Величина являющаяся электростатическим потенциалом, должна быть действительной, что возможно только, если мнимая часть равна по величине и противоположна но знаку мнимой части т. е. если где действительные величины. Аналитические функции разлагаются в степенной ряд

В силу того, что мнимые части равны по величине и противоположны по знаку при любых мы получаем, что [см. соотношение (4.16)], и, следовательно, реальные части этих функций в точности равны между собой, т. е. Поэтому

Пусть V — другая действительная величина, такая, что тогда

Функция V также удовлетворяет уравнению Лапласа, что можно показать, либо воспользовавшись написанным выше разложением, являющимся разложением в ряд по круговым гармоникам, либо путем умножения выражения (4.53) на

Отсюда ясно, что V равна реальной части функции точно так же как является реальной частью функции В дальнейшем мы будем обозначать через через z, т. е.

Функции называются сопряясенными.