§ 12а. Пространствешпле гармоники.

В § 1 было показано, что вращением семейства ортогональных кривых, представляющего поперечное сечение двухмерного поля, нельзя, вообще говоря, получить семейство трехмерных эквипотенциальных поверхностей. Однако таким образом можно получить семейство поверхностей, которые вместе с плоскостями, пересекающимися вдоль оси вращения и характеризуемыми азимутальным углом, образуют систему ортогопальных криволинейных координат; последнюю можно изучить при помощи метода, изложенного в § 4 гл. III. Если меридианальное сечение поставленной трехмерной краевой задачи образует двухмерную границу, для которой решение можно получить при помощи конформного преобразования, то существует метод, позволяющий построить такую систему координат, в которой первоначальные краевые условия имеют весьма простой вид. Задача, таким образом, заключается в нахождении общего решения уравнения Лапласа в такой системе координат.

Пусть и сопряженные функции в плоскости z, определяемые соотношением

Тогда, согласно выражению (4.56),

Умножая это равенство на комплексно-сопряженное, получим

Если эта система вращается относительно оси у, то для элемента длины будем иметь

Сравнение с соотношением (3.10), где дает

так что уравнение Лапласа, согласно соотношению (3.13), имеет вид

Последний член здесь без труда отделяется, если, как было указано в § 2 гл. IV, искать решение в виде

Разделив уравнение (5.59) на V и полагая последний член равным получим, как и в решении (4.8), функцию в виде

Для получается уравыепие в частных производных

Трудности, связанные с интегрированием этого уравнения, определяются видом функции Во многих важнейших системах координат,

и частности во всох системах, рассмотренных в настоящей главе, х имеет вид

откуда, используя соотношение (4.56), имеем

Положим

и подставим выражения в уравнение (5.62). Разделив результат на получим, что каждый член уравнения содержит только одну переменную. Приравнивая члены с к, постоянной а члены с постоянной будем иметь дифференциальные уравнения в полных производных

Весь остальной материал настоящей главы посвящен решению этих уравнений и применению их решений [а также решения (5.61)] к задачам о нахождении потенциала.

Из соотношения (4.61) заменой х на у и наоборот получаются сферические координаты, так что

Если положить в уравнениях (5.66) и (5.67) и воспользоваться переменными и 6, то эти уравнения переходят в уравнения (5.836) и (5.102).

Из преобразования получаются гармоники сплюснутого сфероида, если положить

При уравнения (5.66) и (5.67) совпадают в переменных с уравнениями (5.244).

Гармоники вытянутого сфероида получаются из преобразования заменой х на у и наоборот при

Если в уравнениях (5.66) и (5.67) положить переменных получится уравнение Лапласа в обычной для «вытянутых» сфероидальных координат форме, рассмотренное в § 29а.

Цилиндрические координаты получаются вращением преобразования так что для них Полагая уравнении и разделив уравнение на получим уравнение Бесселя (5.302). Аналогичная подстановка в уравнение (5.67) дает уравнение (5.301).