§ 22е. Применение функций Лежандра второго рода в теории потенциала.

Наиболее важные применения зональных гармовик второго рода связаны с использованием сфероидальных гармоник. Поскольку функций обращаются в бесконечность при используются в качестве сферических гармоник главным образом в тех задачах, в которых коническая граница исключает ось из области, где ищется электростатическое поле.

Рассмотрим, например, случай двух коаксиальных конусов. Пусть потенциал равен нулю на конусе и равен на конусе Тогда в пространстве между конусами потенциал будет

где Проверка показывает, что это решение удовлетворяет граничным условиям.

Интересен тот частный случай, когда один конус имеет потенциал, равный нулю, а другой — потевциал, равный Поскольку то в этом случае

Согласно формуле (406.2) из справочника Двайта,

и выражение для потенциала между конусами имеет вид