§ 33д. Функция Грина для кольцевой цилиндрической полости.
В качестве примера использования модифицированных бесселевых функции вычислим потенциал, обусловленный маленьким зарядом 
расположенным в точке 
внутри цилиндрической кольцевой полости с проводящими стенками, уравнения которых суть 
Частвый случай, 
соответствует цилиндрической полости, для которой в § 30к было получено решение, содержащее бесселевы функции.
Поскольку ни 
ни 
не имеют действительных корней, для получения функции, обращающейся в нуль при заданном значении 
потребуется, очевидно, их комбинация. Ясно, что искомая функция имеет вид
Так как эта функция обращается в нуль, вообще говоря, лишь при одном значении 
то в областях вблизи внутренней и вблизи ввешвей 
ниц необходимо пользоваться различными функциями, которые должны, конечно, совпадать при 
Нетрудно написать две такие функции, обращающиеся в нуль на поверхности проводников и совпадающие друг с другом при 
Они имеют вид при 
или 
при
Эти решения имеют должную симметрию относительно 
Для определения коэффициентов 
можно воспользоваться теоремой Гаусса о потоке электрической индукции, применив ее к области, окружающей заряд.
Допустим, что заряд 
сосредоточен в маленькой области на поверхности цилиндра 
в окрестности точки 
Эта область принимается настолько малой, что физически ее невозможно измерить, однако математически она не является точкой, благодаря чему потенциал и напряженность поля всюду конечны. Согласно формуле (1.27), интеграл по двум сторонам поверхности цилиндра 
равен
Из выражений (5.428) и (5.429) следует
При помощи решения (5.409) это выражение можно записать следующим образом:
Положим теперь 
умножим правую и левую части на
и проинтегрируем по поверхности цилиндра 
Все члены в правой части, за исключением тех, для которых 
обращаются в нуль (см. Двайт, 858.1 и 858.2). Оставшиеся интегралы, кроме 
вычисляются по формуле (Двайт, 858.4). Для вычисления интеграла в левой части заметим, что если размеры заряда достаточно малы, то 
дар и 
имеют постоянные значения, равные соответственно единице и 
и могут быть вынесены из-под знака интеграла. Поэтому, учитывая, что 
в левой части получаем интеграл (5.430). При 
имеем
При 
коэффициент 
в правой части отсутствует, поскольку 
Определяя 
из соотношения (5.432) и подставляя в выражения 
находим
где 
Для цилиндрической полости (случай, рассмотренный в § 
с применением бесселевых функций) следует положить 
так что приведенные выше выражения для потенциала примут вид
Как видно из выражения для потенциала 
, последний удовлетворяет всем граничным условиям, конечен, но не обращается в нуль на оси. Когда заряд расположен на оси, следует пользоваться формулой (5.436), опустив суммирование по 
и положив 
