§ 3. Энергия магнитного поля.

Найдем энергию, требуемую для создания магнитного поля одиночного контура. Воспользуемся результатами, полученными в последнем параграфе, и будем считать, что все пространство заполнено однородной изотропной средой с проницаемостью Построим поле, составляя контур из бесконечно тонких нитей тока. Пусть результирующая плотность тока всюду конечна. Знаменатель в соотношении (8.8)

не может обратиться в нуль, так как конечные нити тока расположены друг от друга на конечном расстоянии. Чтобы получить правильное значение энергии, в соотношение (8.8) для одиночного контура необходимо добавить множитель 1/2, поскольку интегрирование учитывает не только работу при приближении нити а к но также работу при приближении нити к а. Введем, кроме того, в соотношение (8.8) плотность токов в соответствии с формулой (6.2); тогда оно примет вид

где расстояние между элементарными объемами плотности тока в этих объемах; интегрирование по пространству производится дважды, причем, как и в § 2, мы полагаем, что в области интегрирования постоянно. Заменяя согласно выражению (7.4), а согласно выражению (7.8), имеем

Пользуясь формулой для дивергенции векторного произведения

получим

где интегрирование распространяется на все пространство. По теореме Остроградского — Гаусса (3.2) второй интеграл можно преобразовать в поверхностный интеграл по бесконечной сфере. Этот интеграл исчезает, поскольку из выражения (7.8) следует, что А стремится к нулю как как а площадь поверхности возрастает только как так что

Таким образом, окончательное выражение для энергии получаем в виде

Энергию можно считать локализованной в пространстве, где находится магнитное поле, окружающее ток; плотность энергии равна Сравнивая это с выражением (2.18), определяющим энергию электростатического поля, мы видим, что магнитное поле так же, как и электростатическое, можно, для наглядности, трактовать при помощи системы натяжений.