§ 28д. Потенциал заряда, распределенного по поверхности сфероида.

Допустим, что на поверхности сплюснутого сфероида задана плотность поверхностного заряда удовлетворяющая условиям, сформулированным в § 146 гл. Этот заряд создает потенциал вне сфероида и внутри него. Применение теоремы Гаусса о потоке электрической индукции (1.27) к маленькому объему, охватывающему элемент поверхности сфероида, дает

Пусть такова, что

где

Благодаря такому выбору потенциал конечен при Чтобы был бы конечным при и чтобы при должен иметь вид

Подставляя выражения (5.269) и (5.271) в уравнение (5.268) и используя выражение (5.200), получаем

Полагая

можно при помощи выражений (5.269), (5.271), (5.272) и (1.8) получить два весьма важных интеграла:

Рассмотрим теперь плотность поверхностного заряда, являющуюся суммой плотностей вида так что потенциалы будут суммой потенциалов вида (5.274). Таким образом,

Для определения коэффициентов умножим с на

и проинтегрируем по поверхности сфероида. При этом все члены обратятся в нуль, кроме тех, для которых Для них, используя формулу (5.214) при получаем

Потенциал, создаваемый зарядом, распределенным по поверхности с плотностью с, будет равен при

при

где, согласно формулам (5.275) и (5.271),

здесь при при Из формулы (5.271) вытекает

Множитель появляется потому, что в случае интегрирование по при выводе формулы (5.275) дает множитель - вместо