§ 22а. Многоугольники с одним отрицательным углом. Двухмерный диполь. Инверсия.

Теперь естественно выяснить смысл преобразований Шварца с отрицательным углом.

Фиг. 36.

Переход от положительных значений к отрицательным ясно показан на фиг. 36. Если в соотношении то действительные полуоси плоскости будут выходить из начала

координат на плоскости z, образуя между собой угол а. На этой же фигуре показан примерный вид кривых на плоскости z.

Наиболее интересным случаем, относящимся к этой категории, является случай Будем исходить из однородного поля считая функцию потенциальной. Это однородное поле можно представить себе созданным бесконечно большим положительным зарядом, расположенным в точке и бесконечно большим отрицательным зарядом, расположенным в точке Из рассмотрения фиг. 36 следует, что при интересующем нас преобразовании эти два заряда бесконечно близко подходят друг к другу, оставаясь все же по разные стороны оси у плоскости z. По определению, двухмерным диполем называется система, состоящая из двух бесконечно больших, одинаковых по величине и противоположных по знаку линейных зарядов, расположенных бесконечно близко друг к другу, так что произведение величины зарядов (на единицу длины) на расстояние между ними остается конечным. Оно называется дипольным моментом (на единицу длины) и обозначается через Упомянутое преобразование можно получить непосредственно из соотношения (4.64), заменив на а и устремив (Двайт, 601.2),

Отсюда

а также

Эквипотенциальные линии представляют собой окружности, касающиеся оси у в начале координат; силовые линии, тоже являющиеся окружностями, касаются в начале координат оси х.

Другим важным примером, относящимся к случаю является преобразование, получаемое из соотношения (4.87) при

В полярных координатах, разделяя действительные и мнимые части, имеем

Каждой точке вне круга радиуса на плоскости поставлена в соответствие определенная точка внутри круга радиуса на плоскости z. Если есть решение уравнения Лапласа, то где величина, комплексно-сопряженная с тоже будет решением, причем описываемое им поле является зеркальным изображением первого, т.е. Сравнивая плоскость z с плоскостью z, мы видим, что

Точки, удовлетворшощие этому соотношению, называются инвертированными, а величина а называется радиусом ипверсии. Если суммарный заряд на плоскости z отличен от пуля, то это значит, что на бесконечности должен находиться заряд, равный ему по величине и противоположный по знаку, на котором бы оканчивались простирающиеся в бесконечность.

силовые линии. На плоскостях z, или z эти линии окажутся вблизи начала координат. Таким образом, мы приходим к следующему правилу инверсии и двух измерениях.

Если в поле зарядов и т. д., находящихся в точках д., поверхность является эквипотенциальной, то инвертированная поверхность будет эквипотенциальной в поле зарядов и т. д., находящихся в точках д., и заряда расположенного в начале координат. Этот метод позволяет, исходя из известного решения задачи, рассматривающей плоские пересекающиеся границы, получать решения задач, в которых рассматриваются границы в виде пересекающихся цилиндров. В полярных координатах уравнение окружности на плоскости z можно записать в виде

где радиус окружности, — координаты ее центра. Умножим уравнение (4.98) на и подставим, согласно соотношениям (4.97), 6 вместо 6 и а вместо а; тогда

Учтя, что получим

или

где

Таким образом, при инверсии окружность преобразуется в окружность. Если же первоначальная окружность проходит через начало координат, то т. е. после инверсии получается окружность бесконечного радиуса с центром на бесконечности, или, другими словами, прямая линия. Кратчайшее расстояние от этой линии до начала координат равно

а уравнение перпендикулярного к ней радиуса-вектора будет Справедливо и обратное, а именно — прямая линия в результате инверсии преобразуется в окружность, проходящую через начало координат.