§ 31д. Потенциал внутри полого цилиндрического кольца.

В качестве другого примера вычислим потенциал в каждой точке области, ограниченной двумя цилиндрами потенциал которых равен нулю, и двумя плоскостями — плоскостью с нулевым потенциалом и с потенциалом Поскольку значения исключены из рассматриваемой области, в решении будут и Очевидно, что, в соответствии с формулами (5.304) и (5.317), решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям при имеет вид

Условию при можно удовлетворить, если выбрать значения так, чтобы

Следовательно, всем граничным условиям, кроме условия при удовлетворяет и сумма таких решений

Последнее граничное условие при удовлетворяется, если выбрать так, чтобы

Так как выражение в скобках удовлетворяет уравнению Бесселя, обозначим его через Далее умножим правую и левую части равенства на и проинтегрируем от а до Благодаря тому, что все члены в правой части, согласно формуле (5.344), обращаются в нуль, за исключением одного, для которого Для этого члена, в силу выражения (5.345), мы имеем

Дифференцируя по формуле (5.369), находим

Для таким образом, получаем

Подстановка выражения (5.391) в (5.389) и затем (5.389) в (5.390) дает искомое решение.

Чтобы получить потенциал внутри заземленного цилиндра в потенциалом при при следует опустить член

с У, в формуле (5.389); тогда выражение (5.391) примет вид