§ 4. Запаздывающие потенциалы.

Для нахождения решений уравнений Максвелла (см. § 1 гл. XIII) часто пользуются методом запаздывающих потенциалов. Согласно уравнениям (13.14) и (13.15), векторные и скалярные потенциалы распространяются в однородной диэлектрической среде со скоростью Попытаемся написать решения этих уравнений, аналогичные решениям (7.10) и (3.28). Для этого будем считать, что распределение плотности тока и плотности заряда фиксировано в пространстве и меняется только во времени, отложив рассмотрение движущихся изолированных зарядов до последней главы. Нам нужно вычислить значение потенциалов в точке в некоторый момент времени Сигнал, посылаемый в точку элементом находящимся в точке на расстоянии от пройдет

это расстояние со скоростью слеповательно, выйдя из в момент времени будет определяться условиями, характеризовавшими элемент в этот момент времени. Суммируя сигналы от всех элементов, для потенциалов в точке в момент времени согласно решениям (7.10) и (3.28), будем иметь следующие выражения:

Поля определяются по этим запаздывающим потенциалам так же, как и в § 2 гл. XIII. Нетрудно убедиться в том, что выражения (14.21) и (14.22) действительно удовлетворяют волновым уравнениям, так как подинтегральные выражения точности совпадают с общим видом решения полученным в § 3 [см. (14.4)].

В свободном пространстве, как следует из соотношений (13.17), поэтому для запаздывающего вектора Герца непосредственно из решения (14.21) имеем

Но нужно еще убедиться в том, что это выражение не противоречит решению (14.22), учитывая, что связаны между собой уравнением непрерывности (13.5). Для получения и возьмем дивергенцию от по координатам точки наблюдения, так что оператор V будет действовать в выражении (14.23) только на Поскольку то любая производная от по координатам точки наблюдения равна взятой со знаком минус соответствующей производной по координатам точки элемента источника Вид функции в выражении (14.23) показывает, что

где оператор действует только на и не действует на или Заменив теперь на и применяя уравнение непрерывности к элементу источника в момент времени после подстановки в выражение (14.23) получим

Первый интеграл по объему исчезает, потому что его можно (по теореме Остроградского-Гаусса) преобразовать в поьерхностный интеграл и выбрать поверхность вне источника, где равно нулю. Второй член после интегрирования по принимает вид (14.22), т. е. мы показали, что из выражений (14.23) и (13.5) можно получить (14.21) и (14.22).

Возможность использования выражений (14.21) — (14.23) зависит от той точности, с которой можно задать распределение зарядов и токов в источнике. Если последний представляет собой очень тонкий, идеально проводящий провод, протянутый вдоль кривой то необходимо потребовать, во-первых, чтобы вдоль провода равнялась нулю -составляющая напряженности электрического поля, определяемая формулой (13.13), и, во-вторых, чтобы

было удовлетворено уравнение непрерывности (13.5), т. е.

Но поскольку провод бесконечно тонкий, можно приблизиться к нему на бесконечно малое (по сравнению с радиусом кривизны кривой расстояние на котором определяются по формулам, выведенным для бесконечно длинного прямого провода,

Подставляя эти значения в уравнения (14.24) и дифференцируя по времени и по длине после исключения и будем иметь

Для гармонических во времени процессов решение уравнения (14.26) записывается в виде

Таким образом, ток вдоль провода распределен синусоидально.